关于是否存在无法表示为rad(n²±1)的无平方因子整数的技术问询

这是个很有意思的数论问题，先得明确你这里的符号定义——你用rad(n)表示正整数的无平方因子部分，这和数论界通常用来表示“n的所有不同素因子乘积”的rad(n)不是一回事，这点得先厘清，避免混淆。

你的核心问题是：是否存在某个无平方因子整数S，使得对任意正整数n，S既不等于rad(n² - 1)，也不等于rad(n² + 1)？

关于你选择n²±1的动机 #

你提到的选择理由很合理：高次多项式的无平方因子部分确实会因为多项式本身增长过快，导致素因子覆盖的“密度”不足，会错过很多无平方数；线性多项式的结构又太简单，没太多研究价值；而n²±1是二次多项式里结构最简洁的一类，研究它们的无平方部分对所有无平方数的覆盖性，确实是个值得探索的方向。

问题的解答思路与实例 #

答案是存在这样的无平方因子整数，我们可以从素数的情况入手分析：

首先，考虑素数p满足两个条件：

1. -1不是模p的二次剩余（这样n² + 1永远不会被p整除，自然rad(n² + 1)不可能等于p）；
2. 方程n² - 1 = p^m没有正整数解（这样n² - 1无法表示为p的奇数次幂，而如果n² - 1包含p的因子，必然还会包含其他素因子，导致rad(n² - 1)是p与其他素数的乘积，不可能等于p）。

根据数论结论：

• 由二次互反律，-1是模p的二次剩余当且仅当p ≡ 1 mod 4，所以所有p ≡ 3 mod 4的素数都满足第一个条件；
• 根据Mihăilescu定理（原Catalan猜想），除了8=2³和9=3²，不存在两个连续的正整数都是正整数的幂。对于p ≡ 3 mod 4的奇素数，n² - 1 = p^m意味着(n-1)(n+1)=p^m，两个相差2的正整数都是p的幂，只有当p=2时存在解（n=3，对应3²-1=8=2³），其他奇素数都没有这样的正整数解。

拿具体的素数验证：

• p=7：7≡3 mod4，-1不是模7的二次剩余，所以n²+1永远不被7整除；同时方程n²-1=7^m没有正整数解（m=1时n²=8不是平方数，m≥3时7^m+1都不是平方数），因此不存在正整数n使得rad(n²±1)=7，7就是满足条件的无平方因子整数。
• p=11：同理，11≡3 mod4，n²+1不被11整除，方程n²-1=11^m也无正整数解，所以11也是满足条件的例子。

除了素数，可能还存在满足条件的合数无平方数，但仅素数的例子就已经能回答你的核心问题了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maulik