关于利用自由群证明从ℤ到任意环存在唯一环同态的方法问询

先说明下我的前提设定：

我这里默认所有环都是含幺环，因此对应的环同态定义也要求：若$\phi:S \rightarrow R$是环同态，则必须满足$\phi(1_S) = 1_R$。

问题 #

证明：对任意环$R$，存在唯一的环同态$\varphi:\mathbb{Z} \rightarrow R$。

我知道这是个标准结论，也能找到相关解答，但我想确认自己用自由群切入的思路是否合理，以下是我的尝试：

我的证明思路 #

首先回忆：$\mathbb{Z} \cong F_1$，其中$F_1$是由单个元素生成的自由群。

对于任意$r \in R$，考虑集合$S = {1}$，定义集合映射$f:S \rightarrow R$为$1 \mapsto r$。根据自由群的泛性质，这个集合映射$f$可以唯一延拓为群同态$\varphi:F(S) \rightarrow R$，满足$\varphi(s) = f(s)$对所有$s \in S$成立。

特别地，当我取$f$为$1 \mapsto 1_R$时，就得到了一个唯一的群同态$\varphi$，满足$\varphi(1) = 1_R$。而环同态必然是加法群之间的群同态，再结合环同态必须满足$\phi(1_\mathbb{Z}) = 1_R$的要求，从这个群同态的唯一性，我觉得可以推出环同态的唯一性。

我的疑问 #

现在我卡在了最后一步：如何证明这个群同态$\varphi$确实保持乘法结构？

我已经知道作为加法群同态，$\varphi$满足：
$$
\varphi(n) = \varphi(\underbrace{1+\dots+1}{n \text{ 次}}) = \sum{k=1}^n \varphi(1)
$$
同时也能推出$\varphi(-n) = -\varphi(n)$。那是不是只需要说明$\varphi(ab) = ab \cdot \varphi(1)$，然后把它拆成$a$个$\varphi(1)$相加与$b$个$\varphi(1)$相加的乘积？还是说必须根据$a,b \in \mathbb{Z}$的正负性分情况讨论？

另外也请帮我检查下自由群相关的推导有没有错误——我写得可能有点啰嗦，因为对这块内容还不太熟悉，提前感谢大家的帮助和建议！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Irving Rabin