求解两独立随机相位余弦信号叠加后幅度与相位的联合概率密度函数及相关疑问
问题描述
我现在有两个信号：
- 第一个信号形式为 $$X(t) = \cos(100t + \Theta)$$，其中$\Theta$是在$[0, 2\pi]$上均匀分布的随机变量
- 第二个信号形式为 $$Y(t) = \cos(100t + \Psi)$$，其中$\Psi$同样在$[0, 2\pi]$上均匀分布，且与$\Theta$相互独立
两个信号的和$Z(t) = X(t)+Y(t)$可以表示为 $$Z(t) = A \cos(100t + \phi)$$，我需要求解幅度$A$和相位$\phi$的联合概率密度函数（joint pdf）。
我的尝试过程
我用了和积化差的三角恒等式，得到：
$$A = 2 \cos\left(\frac{\Theta - \Psi}{2}\right)$$
$$\phi = \frac{\Theta - \Psi}{2}$$
然后我计算了雅可比行列式，得到$-sin\left(\frac{\Theta - \Psi}{2}\right)$。接下来我尝试用$A$和$\phi$表示$\Theta$和$\Psi$，得到逆变换：
$$\Theta = \cos^{-1}\left(\frac{A}{2}\right) + \phi$$
$$\Psi = -\left(\cos^{-1}\left(\frac{A}{2}\right) - \phi\right)$$
然后根据随机变量变换的pdf公式：
$$f_{A\phi}(a, \varphi) = \frac{f_{\Theta\Psi}\left(\cos^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)+ \phi, \phi - \cos^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\right)}{\left|-\sin\left(\frac{\Theta - \Psi}{2}\right)\right|}$$
到这里我有点困惑，因为我知道$\Theta$和$\Psi$是相互独立的，但不确定这里怎么应用独立性——为什么可以直接把联合pdf拆成两个边缘pdf的乘积？我直接这么做了，得到：
$$= \frac{\left(\frac{1}{2\pi}\right)\left(\frac{1}{2\pi}\right)}{\left|-\sin\left(\cos^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\right)\right|}$$
另外我也写出了变量的取值范围：
$0 < \cos^{-1}\left(\frac{a}{2}\right) + \phi < 2\pi$
$0 < \phi - \cos^{-1}\left(\frac{a}{2}\right) < 2\pi$
我的疑问
我感觉这个结果明显有问题：
- 我验证的时候发现$\int_{-\infty}^{\infty} f_{A\phi}(a, \varphi) da \approx 0.17135$，并不等于1，这说明我的联合pdf肯定错了，但我找不到哪里出问题
- 另外我尝试计算$Pr(A \le \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} f_{A\phi}(a, \varphi) da \approx 0.012801$，这个概率值看起来太小了，虽然我知道概率直觉经常不准，但还是怀疑哪里出错了
希望能得到大家的指导和纠正！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者MeljahU
