关于斐波那契数列存在两个生成函数的疑问

嘿，这个问题其实挺常见的，核心原因就在于大家对斐波那契数列的初始项定义不一样！

咱们拆开来看：

• 第一个生成函数 $F(z) = \frac{1}{1-z-z^2}$，对应的是一种“从1开始”的斐波那契定义：$F_0=1$，$F_1=1$，$F_2=2$，$F_3=3$，$F_4=5$…… 把它展开成幂级数的话，就是 $1 + z + 2z^2 + 3z^3 + 5z^4 + \dots$，每一项$z^n$的系数正好是这个定义下的$F_n$。
• 第二个生成函数 $F(z) = \frac{z}{1-z-z^2}$，对应的是更主流的“从0开始”的标准定义：$F_0=0$，$F_1=1$，$F_2=1$，$F_3=2$，$F_4=3$…… 展开后是 $z + z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 5z^5 + \dots$，这里$z^{n$的系数就是标准定义里的$F_n$，$z}0$项系数为0也刚好对应$F_0=0$。

你甚至能直接看出两者的关联：第二个生成函数其实就是第一个生成函数乘以$z$，因为 $\frac{z}{1-z-z^2} = z \times \frac{1}{1-z-z^2}$。这完全是初始项的起始值约定不同导致的，生成函数差了一个$z$的倍数，但本质上都是在描述斐波那契数列的递推关系，只是起点不一样而已。

所以两个生成函数都“正确”，只是对应了不同的初始定义，并没有矛盾哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vyomi Arya