关于不等式$e^x\leq x+e^{9x^2/16}$的证明方法及满足$e^x\leq x+e^{cx^2}$的最小c值求解问询

大家好，我最近在研读Wainwright, M. J. (2019)的《High-dimensional statistics: A non-asymptotic viewpoint》（剑桥大学出版社，第48卷）时，在第47页看到作者直接使用了这样一个不等式：

$e^x\leq x+e^{9x2/16}$

我想请教各位，有没有什么靠谱的方法可以证明这个不等式？

另外提一句，我之前见过不少关于类似不等式$e^x\leq x+e^{x2}$的优秀证明思路，但这个带9/16系数的版本，我还没找到合适的证明方式。

我自己试着分析了函数$f(x)=x+e^{9x2/16}-e^x$，发现它的一阶导数存在多个根：

• 一阶导数的表达式：$f'(x)=\frac{9xe^{\frac{9x2}{16}}}{8}+1-e^x$
• 从导数的图像来看，它有三个根：0、0.41490879、0.54479289

除此之外，我还有个延伸问题想请教：能不能找到满足不等式$e^x\leq x+e^{cx2}$的最小常数$c$？我试了几个小于9/16的$c$值，发现居然也能让不等式成立，所以想确认一下这个最小的$c$到底是多少。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lee Jelly