关于通过连续性定义实数域上a^x的疑问

嘿，我最近在看MIT单变量微积分18.01的第6讲，碰到了一个有点搞不懂的表述，想过来请教下各位大佬！

原话是这样的：

a^x is defined for all x by "filling in" by continuity

我琢磨了半天还是没太明白这句话到底啥意思，有没有人能帮忙拆解解释下呀？谢谢啦！

其实这个表述说的是实数域上指数函数的延拓逻辑：

• 我们一开始其实只明确定义了指数为整数、有理数时的a^x：比如a^n（n是整数）就是n个a相乘；a^(p/q)（p、q是整数，q≠0）就是a的p次方开q次根，这些我们都能直接计算。
• 但遇到无理数指数的时候，比如a^√2，直接按“相乘/开根”的逻辑就没法算了，这时候就用到了连续性填充的思路：找一串无限趋近于这个无理数的有理数序列（比如√2可以用1.4,1.41,1.414,1.4142,...这样的有理数不断逼近），计算这串有理数对应的a^x值，这些值会收敛到一个确定的极限，我们就把这个极限定义成a^√2。
• 因为指数函数在有理数域上是连续的，所以通过这种“用连续的方式把有理数点之间的空隙填满”的操作，就能把a^x的定义域扩展到全体实数啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者bryanlovesmechanics