满足闭无界集交性质的无限基数上余有界集是否包含闭无界集的技术问询

各位好，我正在梳理集合论里闭无界集（club）相关的问题，先明确一下基础定义：

Definition. 一个基数的子集是闭无界集（club），当且仅当它在序拓扑中是闭集，并且是无界的。

现在我遇到一个问题：假设$\kappa$是一个无限基数，并且满足任意两个闭无界集的交集仍然是闭无界集这个性质，那是不是$\kappa$的每个余有界集（即满足$\kappa \setminus X$是有界集的子集$X$）都一定包含一个闭无界集呢？

我自己初步分析了一下：如果$X$是余有界的，那$X$肯定是无界的——毕竟补集是有界的，也就是说存在某个$\alpha < \kappa$，所有大于$\alpha$的$\kappa$中元素都属于$X$，所以$X$能覆盖$\kappa$中足够大的部分，无界性这一点是明确的。但我卡在这里了：怎么证明$X$里包含一个闭的无界子集？或者有没有可能存在反例？

希望各位能给我一些思路或者解答，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1126145