Scheme立方根函数精度不足问题排查及优化咨询（SICP习题1.8）

先贴出你编写的立方根计算代码：

(define (square x) (* x x))
(define (abs x) (if (< x 0) (- x) x))
(define (cube x) (* x x x))
(define (cube-root-itr guess x) 
  (if (good-enough? guess x) guess 
     (cube-root-itr (improve guess x) x)))
(define (improve guess x) (/ (+ (* 2 guess) (/ x (square guess))) 3))
(define (good-enough? guess x) (< (abs (- (cube guess) x)) 0.0000000001))
(define (cube-root x) (cube-root-itr 1.0 x))
(cube-root 9)

为什么无法返回更精确的结果？ #

你的good-enough?函数用的是绝对误差判断逻辑：只要(cube guess)和目标值x的差值绝对值小于0.0000000001就停止迭代。这种方式存在明显局限：

• 当迭代到后期，guess已经非常接近真实立方根，此时(cube guess)和x的差值会卡在阈值附近，无法继续迭代逼近更精准的值；
• 绝对阈值对不同量级的数值适应性差，不过对于计算9的立方根来说，核心限制就是这个绝对误差终止条件。

如何优化？ #

核心优化思路是把绝对误差判断改成相对误差判断——也就是判断两次迭代的猜测值之间的相对变化是否足够小。这样能更准确地反映迭代的收敛程度，避免绝对阈值带来的限制。

优化后的代码如下：

(define (square x) (* x x))
(define (abs x) (if (< x 0) (- x) x))
(define (cube x) (* x x x))

; 迭代函数新增前一次猜测值参数，用于对比相对变化
(define (cube-root-itr prev-guess guess x)
  (if (good-enough? prev-guess guess)
      guess
      (cube-root-itr guess (improve guess x) x)))

; 优化后的终止条件：判断两次猜测的相对变化率
(define (good-enough? prev-guess guess)
  (< (abs (/ (- guess prev-guess) guess)) 0.0000000000001))

(define (improve guess x)
  (/ (+ (* 2 guess) (/ x (square guess))) 3))

; 初始调用时，用一个和初始猜测值差异较大的数作为前一次猜测
(define (cube-root x)
  (cube-root-itr 0.0 1.0 x))

(cube-root 9)

优化后，函数会在两次猜测值的相对变化足够小时停止，能迭代到更接近真实值的结果，精度会明显提升。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mohammad Abdullah Khan