L₂空间中随机变量独立性的验证问询：X与Y的任意可测函数无关是否蕴含X与Y独立

我这个问题纯粹是出于好奇，主要是想验证自己对随机变量独立性的直觉是否靠谱。

核心问题 #

设两个非平凡的随机变量 $X,Y \in \mathbb{L}_2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$——这样投影和协方差公式都能良好定义，且它们的支撑集非不交（见下文编辑补充）。如果 $X$ 与 $Y$ 的任意可测函数 $g$ 都不相关，也就是对所有可测函数 $g$，都满足 $\operatorname{Corr}(X,g(Y)) = 0$，这是否能推出 $X$ 和 $Y$ 独立？

我在mathstack上搜了一圈没找到相关讨论，所以来请教大家。

我的证明思路尝试 #

我想通过反证法来推进：假设 $X$ 和 $Y$ 不独立，那么一定存在某个函数 $f$，使得 $X$ 和 $f(Y)$ 的相关系数不为零。

$\mathbb{L}_2$ 空间的必要性 #

这也是我们要求随机变量属于 $\mathbb{L}_2$ 的原因——要是不做这个限制，我们能轻松找到反例推翻上面的反证思路：比如取一个方差或期望无定义的随机变量 $X$，此时协方差根本没法定义，自然也就不存在非零的协方差了。

我的困惑与思考 #

有没有什么思路或者参考资料可以分享？是不是需要对函数 $g$ 额外加一些假设？或者是不是应该换个方向，假设 $X$ 和任意 $Y$-可测的随机变量 $Z$ 都不相关？

真的非常感谢大家的帮助和时间！

补充：支撑集非不交的必要性 #

编辑补充：如果不要求随机变量的支撑集非不交，上面的反证思路会存在反例，我给大家举一个具体的例子：

考虑概率空间 $([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \lambda)$，其中 $\lambda$ 是勒贝格测度。核心思路就是如果两个随机变量支撑集不交，就能构造出反例：

定义两个随机变量：
$$ X(x) = \left(x - \frac{1}{2} \right) \mathbb{1}{[0,1/2]}(x)$$
$$ Y(x) = \left(x - \frac{3}{2} \right) \mathbb{1}{[1/2,1]}(x)$$

对任意可测函数 $f$，$f(Y(x))$ 在 $x \in [0,1/2]$ 时是常数 $f(0)$，因此：
$$ X(x)f(Y(x)) = f(0)X(x) \mathbb{1}_{[0,1/2]}(x)$$

由于 $\int X d\lambda = 0$，可以推出：
$$\int X f(Y) d \lambda = 0$$

这说明对任意 $f$，$X$ 和 $f(Y)$ 都不相关，但显然 $X$ 和 $Y$ 是不独立的，这就构成了反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Grandes Jorasses