求包含上三角矩阵环$T_n(\mathbb R)$的全矩阵环$M_n(\mathbb R)$的极大子环

你提的这个问题很有代表性，我们一步步拆解分析：

首先肯定你对$M_2(\mathbb{R})$的结论完全正确：$T_2(\mathbb{R})$作为$\mathbb{R}$-向量空间的维度是3，而$M_2(\mathbb{R})$的维度是4，任何真包含$T_2(\mathbb{R})$的子环（矩阵环的子环天然对加法和数乘封闭），维度只能是4，也就是整个$M_2(\mathbb{R})$，所以$T_2(\mathbb{R})$本身就是$M_2(\mathbb{R})$中包含自身的唯一极大子环。

接下来看$M_3(\mathbb{R})$的情况，你构造的集合：
$$S=\left{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ 0&a_{22}&a_{23}\ 0 &a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}: a_{ij}\in\mathbb R\right}$$
确实是包含$T_3(\mathbb{R})$的极大子环。我们可以这样验证：假设存在子环$R$满足$T_3(\mathbb{R}) \subsetneq R \subsetneq M_3(\mathbb{R})$且$S \subsetneq R$，那$R$中必然存在一个$(3,1)$位置非零的矩阵。取这个矩阵里的$(3,1)$元素，结合上三角环里的对角矩阵做缩放，就能得到矩阵单位$E_{31}$（仅$(3,1)$位置为1）。而$T_3(\mathbb{R})$里有$E_{23}$，两者相乘$E_{23}E_{31}=E_{21}$——这就得到了上三角环里没有的$E_{21}$。有了$E_{21}$和$E_{31}$，再结合上三角环里的矩阵，就能生成所有矩阵单位，最终得到$R=M_3(\mathbb{R})$，矛盾。所以$S$确实是极大子环。

再推广到$n≥4$的情况，我们可以构造一类统一形式的极大子环：

对于每个$k=1,2,...,n-1$，定义$S_k$为所有$n×n$实矩阵$A=(a_{ij})$，满足当$i>k$且$j≤k$时，$a_{ij}=0$（也就是矩阵的右下角$(n-k)×k$块全为0）。

这类$S_k$必然包含$T_n(\mathbb{R})$：因为上三角矩阵本身就满足$i>j$时$a_{ij}=0$，而$i>k$且$j≤k$时自然有$i>j$，所以上三角矩阵的这些位置本来就是0，完全符合$S_k$的条件。

同时$S_k$是极大子环：假设存在真包含$S_k$的子环$R$，那$R$里一定有一个矩阵在$i>k$、$j≤k$的位置有非零元素，类似n=3的思路，我们可以生成对应的矩阵单位$E_{i,j}$（$i>k,j≤k$），再结合上三角环里的$E_{j',i}$（$j'≤k,i>k$），就能生成所有不在上三角里的矩阵单位，最终推导出$R=M_n(\mathbb{R})$，所以$S_k$无法被真包含在任何非全矩阵环的子环中。

而且，所有包含$T_n(\mathbb{R})$的极大子环都属于这类$S_k$——因为包含上三角环的子环，其不变子空间只能是标准基张成的初始段子空间$\operatorname{span}{e_1,e_2,...,e_k}$，对应的子环就是上述的$S_k$，不存在其他形式的极大子环。

总结一下：

• $n=2$时，唯一的极大子环就是$T_2(\mathbb{R})$本身；
• $n≥3$时，包含$T_n(\mathbb{R})$的极大子环是所有形如$S_k$（$k=1,2,...,n-1$）的子环，每个$S_k$对应限制矩阵的右下角$(n-k)×k$块为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者R_D