关于不动点问题中指定区间内sin(x/2)取值范围的疑问

嗨，别着急，我来帮你理清楚这个问题：

首先，咱们先锚定你的变量范围——你这里的x是在[-1,1]这个闭区间里的，对吧？那先推导x/2的取值区间：

• 当x取到区间左端点-1时，x/2 = -0.5；
• 当x取到区间右端点1时，x/2 = 0.5。

所以x/2的整个取值范围是**[-0.5, 0.5]（弧度制）**。接下来看正弦函数sin(t)的特性：sin(t)在t∈[-π/2, π/2]（大概是[-1.57,1.57]）这个区间内是严格单调递增的，而[-0.5,0.5]完全落在这个单调区间里。

现在计算这个小范围内sin(t)的最值：

• 最小值是sin(-0.5) = -sin(0.5)，而sin(0.5)≈0.479，明显小于0.5；
• 最大值是sin(0.5)≈0.479，同样小于0.5。

所以综合起来，当x∈[-1,1]时，sin(x/2)的取值范围是[-sin(0.5), sin(0.5)]，这个区间完全包含在[-1/2,1/2]里，因此我们可以直接说sin(x/2)∈[-1/2,1/2]。

你之前提到的|sin(a)|≤1是正弦函数的全局性质，但这里因为a=x/2的范围被严格限制在了很小的区间内，所以它的取值范围自然比全局范围小很多，这也是这个不动点问题里的特殊情况~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Georges Djimi