关于$\frac{1}{(x(x+1)(x+2)...(x+n))^2}$的部分分式分解求解

嘿，我来帮你把这个部分分式分解的问题梳理清楚，你的初始思路已经很准确了，咱们把它补全～

首先，你的分解形式完全正确：因为每个$x=-k$（$k=0,1,\dots,n$）都是原式的二阶极点，所以分解式可以写成：
$$\frac{1}{(x(x+1)(x+2)\dots(x+n))^{2}=\sum_{k=0}}{n} \frac{a_k}{x+k}+\sum_{k=0}^{n} \frac{b_k}{(x+k)^2}$$

先求二阶项系数$b_k$ #

你已经算出了$b_0、b_1$的特例，其实可以直接推广到一般情况：
两边同乘分母$(x(x+1)\dots(x+n))^2$后得到：
$$1=\sum_{k=0}^{n}a_k \cdot \frac{(x(x+1)\dots(x+n))^2}{x+k} + \sum_{k=0}^{n}b_k \cdot \left(\prod_{\substack{m=0\m\neq k}}^{n(x+m)\right)}2$$

当代入$x=-k$时，所有含$a_i$的项都会因为分子里有$(x+k)$因子而变为0，只剩下$b_k$对应的项：
$$1 = b_k \cdot \left(\prod_{\substack{m=0\m\neq k}}^n (-k + m)\right)^2$$

计算这个乘积：
$$\prod_{\substack{m=0\m\neq k}}^n (m - k) = \prod_{m=0}^{k-1}(m - k) \cdot \prod_{m=k+1}^n(m - k) = (-1)^k k! \cdot (n - k)!$$
平方后就是$(k!(n - k)!)^2$，所以通用的$b_k$公式是：
$$b_k = \frac{1}{(k!(n - k)!)^2}$$
你之前算的$b_2$应该是笔误，正确的应该是$\frac{1}{(2!(n-2)!)^2}$，刚好符合这个公式～

再求一阶项系数$a_k$（用求导法更直观） #

这里用求导法推导，比直接用留数定理更容易理解：

先简化之前的等式，记$P(x)=\prod_{m=0}^n(x+m)$，$Q_k(x)=\prod_{\substack{m=0\m\neq k}}^n(x+m)$，那么等式变为：
$$1 = \sum_{k=0}^n a_k P(x)Q_k(x) + \sum_{k=0}^n b_k Q_k(x)^2$$

对两边关于$x$求导：
$$0 = \sum_{k=0}^n a_k \left[P'(x)Q_k(x) + P(x)Q_k'(x)\right] + \sum_{k=0}^n 2b_k Q_k(x)Q_k'(x)$$

现在代入$x=-k$，注意当$i\neq k$时，$Q_i(-k)=0$（因为$Q_i(x)$包含$(x+k)$因子），所以所有$i\neq k$的项都消失了，只剩下$i=k$的项。另外$P(-k)=0$，所以$P(x)Q_k'(x)$这一项也为0，等式简化为：
$$0 = a_k P'(-k)Q_k(-k) + 2b_k Q_k(-k)Q_k'(-k)$$

两边除以$Q_k(-k)$（它不等于0），得到：
$$a_k = -2b_k \cdot \frac{Q_k'(-k)}{P'(-k)}$$

接下来计算$P'(-k)$和$Q_k'(-k)$：

• 对于$P'(x)$，用对数求导法：$\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{m=0}^n \frac{1}{x+m}$，所以$P'(-k)=\prod_{\substack{m=0\m\neq k}}^{n(-k+m)=Q_k(-k)=(-1)}k k!(n-k)!$
• 对于$Q_k'(x)$，同样用对数求导：$\frac{Q_k'(x)}{Q_k(x)}=\sum_{\substack{m=0\m\neq k}}^n \frac{1}{x+m}$，代入$x=-k$得：
  $$\frac{Q_k'(-k)}{Q_k(-k)} = \sum_{\substack{m=0\m\neq k}}^n \frac{1}{-k+m} = \sum_{m=0}^{k-1}\frac{1}{m-k} + \sum_{m=k+1}^n\frac{1}{m-k} = -H_k + H_{n-k}$$
  这里$H_m$是第$m$个调和数，$H_0=0$，$H_m=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{m}$（$m\geq1$）

把这些代入$a_k$的公式，$Q_k(-k)$和$P'(-k)$可以约掉，最终得到：
$$a_k = \frac{2(H_k - H_{n-k})}{(k!(n - k)!)^2}$$

总结 #

最终的部分分式分解系数为：

• 二阶项：$\boldsymbol{b_k = \frac{1}{(k!(n - k)!)^2}}$，其中$k=0,1,\dots,n$
• 一阶项：$\boldsymbol{a_k = \frac{2(H_k - H_{n-k})}{(k!(n - k)!)^2}}$，其中$H_k$为第$k$个调和数

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max