关于黎曼ζ函数非平凡零点处ζ’(s)/ζ(s)的留数与零点阶数的疑问

嗨，我来帮你理清这个困惑~咱们先从复分析的基础结论入手，再对应到黎曼ζ函数的情况：

首先，对于任意解析函数$f(s)$，如果它在点$\rho$处是$k$阶零点（也就是$f(s)=(s-\rho)^k g(s)$，其中$g(\rho)\neq0$且$g$在$\rho$附近解析），对$f(s)$求导后再除以$f(s)$，会得到：
$$\frac{f'(s)}{f(s)} = \frac{k}{s-\rho} + \frac{g'(s)}{g(s)}$$
这里$\frac{g'(s)}{g(s)}$在$\rho$附近是解析的，所以$\frac{f'(s)}{f(s)}$在$\rho$处的留数就是$k$——也就是零点的阶数。这个结论是通用的，黎曼ζ函数也完全符合这个规则。

接下来看你提到的那个极限：$\lim_{s\to\rho} (s-\rho)\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = 1$。这个式子成立的前提是**$\rho$是ζ(s)的单零点**（也就是$k=1$），这时候留数自然是1。但问题在于，“黎曼ζ函数的所有非平凡零点都是单零点”这个命题，目前还只是一个未被严格证明的假设（俗称“简单零点假设”）。我们有大量数值计算证据支持它，也有一些部分研究结果，但至今没有完整的数学证明。

那为什么会看到这样的结论呢？大概率是有些文章在讨论时默认了简单零点假设来推进后续推导，或者是针对已经通过数值验证过的非平凡零点给出的结论。但从严格的数学证明角度来说，我们还不能断言所有非平凡零点的阶数都是1，所以对应的留数也不能直接统一说是1——只能说：如果某个非平凡零点是$k$阶的，那$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$在该点的留数就是$k$。

最后补充一下平凡零点的情况：ζ(s)在$s=-2n$（$n$为自然数）处的零点已经被证明是单零点，所以$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$在这些点的留数确实是1，这部分是没有争议的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dontunder