关于Corollary 8.7（Cox）反向证明中理想论解释的问询

我在啃Cox的数论书籍时，被Corollary 8.7的反向证明卡住了，先把这个推论的内容整理出来：

Corollary 8.7 表述如下：
设$L,M$是$K$的阿贝尔扩张，则$L \subseteq M$ $\iff$ 存在一个模$\mathfrak{m}$，它被所有在$L$或$M$中分歧的$K$的素除子整除，使得
$$P_{K,1}(\mathfrak{m}) \subseteq \text{ker}(\Phi_{M/K,\mathfrak{m}}) \subseteq \text{ker}(\Phi_{L/K,\mathfrak{m}}).$$

正向推导我能搞明白，但反向证明里的这一步实在绕不过来：

反向证明的思路是考虑阿廷映射$\Phi_{M/K,\mathfrak{m}}:I_{K}(\mathfrak{m}) \xrightarrow{} \text{Gal}(M/K)$（注：原问题里写的是映射到$\text{Gal}(L/K)$，应该是笔误），子群$\text{ker}(\Phi_{L/K,\mathfrak{m}})$在这个映射下对应一个子群$H$，根据伽罗瓦对应，$H$对应一个中间域$\overline{L}$。然后书中说，应用证明的第一部分（正向推导），就能得出$\text{ker}(\Phi_{\overline{L}/K,\mathfrak{m}}) =\text{ker}(\Phi_{L/K,\mathfrak{m}})$，这一步我完全没理解。

我知道论坛上有个相关问题，但答案是用伊代尔（ideles）讲的，我还没学伊代尔的内容，有没有纯理想论视角的解释能帮我搞懂这一步呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dormordo