关于线性变换T在V任意基下的相关性质的疑问

嘿，我完全懂你的困惑！先把思路理清楚，你自己构造的那个特殊基（把零空间的基放在前面，再补一组向量构成V的基）确实非常直观，能直接看出有$s$个基向量映射到零，$r$个映射到W里的非零线性组合——这其实就是线性变换的标准基构造方法对吧？

但你纠结的点在于：为什么这个结论对V的任意一组基都成立？我们可以一步步拆解：

首先，先明确前提：根据秩-零度定理，我们有 $s + r = \dim V$，这是核心的等式。

现在来看你看到的那个结论，其实它的表述可能有点容易让人误解，我们先把原结论的原话放出来：

Let $v_1,\cdots,v_n$ be a basis of $V$, let $w_1,\cdots,w_m$ be a basis of W, let $r = \text{dim}\ \text{range}\ T$ , and let $s = \text{dim}\ \text{null}\ T$. Then there are $s$ basis vectors of $V$ which map to zero and $r$ basis vectors of $V$ with nontrivial representation as linear combinations of $w_1,\ldots,w_m$.

这里的关键是，它说的“存在$s$个V的基向量映射到零”，并不是说任意基里恰好有$s$个基向量本身就在零空间里（这其实是不对的，举个反例就能推翻：比如V是二维平面，T是投影到x轴，零空间是y轴，取基${(1,1), (1,-1)}$，这两个基向量的像都是$(1,0)$，都不在零空间里）。

正确的理解应该是这样的：

• 对于V的任意一组基，我们可以从这组基中选出$s$个向量，它们的线性组合张成整个零空间；同时剩下的$r$个向量，它们在T下的像构成W中一组线性无关的向量（也就是能表示为$w_1,\dots,w_m$的非平凡线性组合）。
• 或者换个更准确的说法：不管你用V的哪组基，这组基在T下的像向量中，线性无关的向量个数恰好是$r$（因为值域的维数是$r$），剩下的$s$个像向量必然是这$r$个线性无关向量的线性组合（包括零向量这种特殊的线性组合）。对应到原基里，就是有$s$个基向量的像可以被其他$r$个基向量的像线性表示，而这$r$个基向量的像则是W中“非平凡”的存在——它们无法被其他像向量表示。

哦对了，还有一种可能是你看的证明里表述不够严谨，它其实想表达的是存在性：即不管V原来的基是什么，我们总能通过基变换（比如对原基做线性组合）得到一组新基，其中$s$个向量直接在零空间里（映射到零），$r$个向量的像构成值域的基——这就是你一开始构造的那种基，这是完全成立的。

总结一下：

• 你构造的特殊基是满足结论的，这是线性变换的标准基，是存在性的结论。
• 原结论如果被理解为“任意基里恰好有$s$个基向量映射到零”是错误的，但如果理解为“任意基中存在$s$个向量，其像可被其他$r$个基向量的像线性表示，且$r$个像线性无关”，那就是正确的。

希望这样能帮你解开这个困惑！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FGS