关于Chung-Fuchs定理（不可约随机游走常返性）证明细节的技术问询

我正在学习A. Klenke所著《Probability Theory》第3版中Chung和Fuchs（1951）提出的定理，对于证明中的几个步骤我需要一些澄清。

该定理指出：$\mathcal{Z}^D$上的不可约随机游走$X$（特征函数为$\phi$）是常返的，当且仅当对任意$\epsilon>0$，有
$$
\lim_{\lambda \uparrow 1}\int_{(-\epsilon,\epsilon)^D} Re\bigg(\frac{1}{1-\lambda\phi(t)}\bigg)dt=\infty
$$

书中的证明从以下推导开始：
$$
G(0,0) = \lim_{\lambda \uparrow 1} \sum_{n=0}^\infty \lambda^npn(0,0)
\
=\lim_{\lambda \uparrow 1}\int_{[-\pi,\pi]^D} (2\pi)^{-D}\frac{1}{1-\lambda\phi(t)}dt
\
=\lim_{\lambda \uparrow 1}\int_{[-\pi,\pi]^D} (2\pi)^{-D} Re\bigg(\frac{1}{1-\lambda\phi(t)}\bigg)dt
$$

1. 为什么最后一个等式成立？

2. 作者接下来的推导是：如果存在某个$t\in(-2\pi,2\pi)^{D\setminus{0}$使得$\phi(t)=1$，那么对任意$n\in\mathcal{N}$有$\phi}n(t)=1$，因此$P_0[\langle X_n,t/(2\pi)\rangle\in \mathcal{Z}]=1$。为什么这会与不可约性矛盾？

3. 作者接着说：由于$\phi$的连续性，对所有$\epsilon>0$，我们有
   $$
   \inf{|1-\phi(t)|: t\in[-\pi,\pi)^D \setminus (-\epsilon,\epsilon)^D}>0
   $$
   作者是如何利用特征函数的连续性得到这个结论的？

4. 这个最后的结果和定理中给出的条件有什么联系？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enrico