布尔环中的滤子：环论视角下的对应关系与相关问题

咱们先从一个广为人知的结论聊起：布尔代数和布尔环是等价的，而且当把布尔代数$B$看作布尔环时，$B$里的序理论理想正好对应环意义下的理想。顺着这个对应关系，自然会冒出一个问题：那布尔代数里的序理论滤子，从环论的视角来看对应什么呢？

一个直白的答案是：环$B^{op}$中的理想。咱们把这个结论拆解开来，就能得到布尔环$B$中滤子$F$的具体刻画——它是一个非空集合，满足以下两个条件：

• 若$a,b \in F$，则$1+a+b \in F$（子群条件）
• 若$a \in F$，$b \in B$，则$a + ab + b \in F$（吸收条件）

到这里又会引申出几个值得探讨的问题：

• 这个滤子的环论定义在一般场景下有没有实际价值？
• 能不能用更直观、更常用的环论概念来重新表述这个定义？
• 从环论角度出发，$B$和它的对偶环$B^{op}$之间有没有什么有意思的关联？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fernando Chu