关于单符号变化光滑函数与高斯函数卷积的唯一根问题

各位好，我最近在研究一个问题时卡住了，想请教大家的思路：

假设我们有一个光滑实函数 $f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$（满足指数增长条件），它在某个点 $x^* \in \mathbb{R}$ 处仅发生一次符号变化——具体来说：

$\forall x \in \mathbb{R}, f(x) > 0 \text{ if } x<x^, f(x) <0\text{ if } x>x^.$
更一般地，我们假设$f$只改变一次符号。

现在定义函数$g$为$f$与高斯函数$e^{-s2/2}$的卷积：
$$g(x) := \int_\mathbb{R}f(x+s)e^{-s2/2}ds$$

我的问题是：能不能证明$g$在$\mathbb{R}$上有唯一的根？

我个人倾向于这个结论是成立的，但自己对卷积的性质不太熟悉，所以想问问大家有没有解法、提示，甚至反例？如果这个结论不成立的话，能不能给出一些更强的条件，让$f$满足后结论成立？

我测试过的例子 #

• 当$f(x) = -x$时，计算可得$g(x) = -x$，显然只有唯一根，符合猜想；
• 当$f = \arctan$时，通过画图验证，发现$g$依然只有一个根；
• 对于更复杂的非递增函数，比如 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$，也符合这个规律。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NancyBoy