关于Rudin习题4.6及无拓扑知识背景下乘积度量空间中的收敛性验证问询

我在梳理Rudin习题4.6的证明过程时，遇到了关于乘积度量空间中收敛性的问题。我仅学过Rudin第二章的内容，正在自学，没有一般拓扑的基础。下面我会标出一些关键句子，想确认它们是否具备合理性：

习题内容 #

若$E$是紧集，证明$f$在$E$上连续当且仅当它的图像是紧集。

我的证明尝试 #

第一部分：假设$f$连续，证明图像$\mathcal{G}$紧

定义双射$h: E \to \mathcal{G}$，其中$h(x)=(x,f(x))$（$x\in E$）。对任意$p\in E$，当$x\to p$时$f(x)\to f(p)$，我认为由此可以推出$(x,f(x))\to(p,f(p))$当$x\to p$。这说明$h$连续，而$E$是紧集，所以$h(E)=\mathcal{G}$是紧集。

第二部分：假设图像$\mathcal{G}$紧，证明$f$连续

任取$x\in E$，以及收敛到$x$的序列$x_n$，则$(x_n,f(x_n))$是$\mathcal{G}$中的序列。我觉得如果$(x_n,f(x_n))\to(x,f(x))$，那就能直接得出$f(x_n)\to f(x)$，问题就解决了。所以假设$(x_n,f(x_n))\nrightarrow(x,f(x))$，由于$\mathcal{G}$是紧集，我们可以找到子序列$(x_{n_i},f(x_{n_i}))$收敛到$\mathcal{G}$中的点$(x,y)$（其中$y\neq f(x)$）。但$(x,y)\in\mathcal{G}$意味着$y=f(x)$，这就矛盾了。

我的疑问点 #

• 第一部分里，我没有定义乘积空间上的度量就直接做了收敛性推导，是不是不合理？比如如果用离散度量的话，这种推导根本不成立，对吧？
• 第二部分里，仅用Rudin基础分析的工具，能不能严谨证明序列$(x_n,f(x_n))$的第二个坐标$f(x_n)$确实收敛？这里很微妙，因为我们不知道$\mathcal{G}$上的度量；虽然可以用乘积拓扑里的常用度量，但这个概念属于拓扑学范畴，Rudin的教材里没涉及。我觉得不能在证明开始前随便给$\mathcal{G}$定义一个度量，是不是这样？
• 另外，关于假设$(x_n,f(x_n))\nrightarrow(x,f(x))$后的推导，我用了紧集的性质找到收敛子序列，然后利用$x_n\to x$得出子序列极限是$(x,y)$（$y\neq f(x)$），这一步是不是合理的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者noballpointpen