非交换情形下$(A+B)^n$展开式的双重求和通用符号问询

嗨，这个问题提得很关键！在非交换代数场景中，确实有通用的符号体系来表示你想要的这种双重求和形式的展开式，我给你整理几种常用且清晰的写法：

第一种：子集索引求和法 #

这种写法用集合子集来标记B的位置，非常直观：
$$
(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \sum_{\substack{S \subseteq {1,2,\dots,n} \ |S|=k}} \prod_{i=1}^n x_i
$$
这里的规则是：当位置$i$属于子集$S$时，$x_i = B$；不属于$S$时，$x_i = A$。外层求和的$k$代表展开项中B的个数，内层求和则遍历所有包含$k$个元素的位置子集——正好对应$\binom{n}{k}$个项，完美匹配你举的$n=3$的例子：

• 当$k=1$时，内层子集就是${3},{2},{1}$，分别对应$AAB, ABA, BAA$这3项；
• 当$k=2$时，内层子集是${2,3},{1,3},{1,2}$，对应$ABB, BAB, BBA$这3项。

第二种：0-1序列索引求和法 #

如果你更倾向于用序列来标记每个位置的元素，可以用0-1变量来定义：
$$
(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \sum_{\substack{(\epsilon_1,\dots,\epsilon_n) \in {0,1}^n \ \sum_{i=1}^n \epsilon_i = k}} A^{1-\epsilon_1} B^{\epsilon_1} A^{1-\epsilon_2} B^{\epsilon_2} \dots A^{1-\epsilon_n} B^{\epsilon_n}
$$
这里$\epsilon_i=1$表示第$i$个位置是B，$\epsilon_i=0$表示是A。内层求和的约束是“所有恰好包含$k$个1的n元0-1序列”，项数同样是$\binom{n}{k}$，和你的示例完全契合。

第三种：组合集合简写求和法 #

在组合数学文献里，还常用$\binom{X}{k}$表示集合$X$的所有k元子集构成的集合，这样可以把写法简化得更紧凑：
$$
(A+B)^n = \sum_{k=0}^n \sum_{\sigma \in \binom{{1,\dots,n}}{k}} \prod_{i=1}^n \begin{cases} B & \text{if } i \in \sigma \ A & \text{otherwise} \end{cases}
$$
这种写法的优势是熟悉组合符号的人一眼就能看懂内层求和的范围和项数，不需要额外解释约束条件。

这几种写法都能准确表达你想要的“外层求和遍历B的个数，内层求和对应$\binom{n}{k}$个非交换乘积项”的结构，你可以根据自己的使用场景选择最顺手的一种~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nolord