关于Wirtinger表示在不相交圆链环群计算中的疑问

嘿，别担心，这个问题其实挺常见的，咱们一点点拆解清楚～

首先可以明确告诉你：你既没有犯错，也没有误解Wirtinger表示，而且Wirtinger表示根本不局限于最小交叉数的链环图，它对任何链环图都适用。问题出在你对那两个交叉对应的Wirtinger关系的解读上。

先理清楚几个关键点：

• 两个不相交的分离圆（也就是无链环）的链环群确实是$\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$——两个独立的无限循环群的自由积，生成元之间没有非平凡的交换关系，这部分你是对的。
• 你用的那个带一正一负$a$-over-$b$交叉的图，本质上是给原本分离的圆加了一对“冗余交叉”：想象把圆$a$拎起来绕圆$b$一圈再放回原位，就会形成这样的两个交叉，它们在拓扑上等价于没有交叉的分离圆。

接下来看Wirtinger关系的推导：
对于链环图的每个交叉，Wirtinger规则是这样的：假设交叉处从下方穿过的弧是$x$，上方跨越的弧是$y$：

• 正交叉会给出关系：$yxy^{-1} = x'$（$x'$是$x$穿过交叉后延续的弧）
• 负交叉会给出关系：$y^{-1}xy = x'$

在你的图里，这两个交叉对应的弧都是$a$（跨越弧）和$b$（下穿弧），但关键是：经过这一正一负两个交叉之后，下穿的弧$b$又回到了它原本的生成元。也就是说：

1. 正交叉给出的关系是$aba^{-1} = b$（这里假设$a$是跨越的弧，$b$是下穿弧）
2. 负交叉给出的关系是$a^{-1}ba = b$

这两个关系看起来像是在说$ab=ba$，但把它们放在一起看的话，其实是互相抵消的平凡关系：从第一个式子能推出$ab=ba$，但第二个式子也能推出$ba=ab$，而这两个式子合起来其实等价于$b=b$——并没有引入任何新的非平凡约束。

换句话说，这对冗余交叉带来的关系是“可消去”的，当你化简Wirtinger表示的时候，这些平凡关系可以直接去掉，最终得到的群还是$\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$，和分离圆的链环群一致。

最后再总结一下：

• Wirtinger表示适用于所有链环图，不管交叉数是否最小；
• 非最小交叉数的图会引入额外的平凡关系，这些关系不改变群的结构；
• 你之前觉得得到了$a$和$b$交换的结论，只是单独看单个交叉的关系产生的错觉，把两个交叉的关系结合起来，就会发现它们其实是无效的平凡约束，不会影响最终的群结构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Victor