关于含单极点解析函数幂级数系数极限的留数问题求助

问题描述 #

设 ( D = { z \in \mathbb{C}: |z| < 2 } )，函数 ( f:D\rightarrow\mathbb{C} ) 是复值函数，它在 ( D ) 内除了 ( z=1 ) 处有一个单极点外，其余点均解析。已知 ( f ) 在 ( |z| < 1 ) 内有幂级数展开：
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n , |z|<1.$$

求证：
$$\lim_{n \rightarrow\infty} a_n=-c,$$
其中 ( c ) 是 ( f ) 在 ( z=1 ) 处的留数。

我的尝试 #

根据已知条件，我把 ( f(z) ) 写成了 ( f(z)=\frac{g(z)}{z-1} )，其中 ( g(z) ) 在整个 ( D ) 内都是解析的。

首先计算留数：
$$\text{Res}(f,1)=c=\lim_{z \rightarrow1}\bigg((z-1)\frac{g(z)}{z-1}\bigg)=g(1).$$

另外，当 ( |z| < 1 ) 时，我把 ( f(z) ) 展开成了：
$$f(z)=-g(z)\sum_{n=0}^{\infty}zn, |z|<1.$$

到这里我就卡住了，不知道该怎么继续推导下去。希望各位能给我一些提示，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathRookie2204