关于Beta函数相关求和积分的渐近展开与极限证明问题

原问题表述 #

我现在需要求解以下包含Beta函数的无穷求和积分的渐近展开或者闭合形式：
$$\sum_{k=1}^{{\infty}\int_{0}}{\infty}(B(x+n+k,n+1))^2\ dx$$
其中$B(m,n)$是Beta函数，$n\in\mathbb{N}$。

初步推导过程 #

首先我把这个求和积分项记为$I_n$：
$$I_n=\sum_{k=1}^{{\infty}\int_{0}}{\infty}(B(x+n+k,n+1))^2\ dx$$

根据Beta函数的定义$B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$，代入后可以得到：
$$I_n=\sum_{k=1}^{{\infty}\int_{0}}{\infty}\left(\frac{\Gamma(x+n+k)\Gamma(n+1)}{\Gamma(x+2n+k+1)}\right)^2\ dx$$
因为$\Gamma(n+1)=n!$，所以进一步化简为：
$$I_n=(n!)^2\sum_{k=1}{\infty}\int_{0}^{{\infty}\left(\frac{\Gamma(x+n+k)}{\Gamma(x+2n+k+1)}\right)}2\ dx$$

接下来我交换了求和与积分的顺序（这一步的合理性需要验证），得到：
$$I_n=(n!)^2\int_{0}{\infty}\sum_{k=1}^{{\infty}\left(\frac{\Gamma(x+n+k)}{\Gamma(x+2n+k+1)}\right)}2\ dx$$

针对里面的无穷求和，我找到了对应的结果，代入后可以用超几何函数表示：
$$I_n=(n!)^2\int_{0}{\infty} \left(\frac{\Gamma(x+n+1)}{\Gamma(x+2n+2)}\right)^2{}_3F_2\left ( 1,x+n+1,x+n+1;x+2n+2,x+2n+2;1 \right)dx$$
其中${}_3F_2$是广义超几何函数。

后续问题聚焦 #

后来在@Gary和@TymaGaidash的精彩解答中，我们得到了这个求和积分的闭合形式：
$$\sum_{k=1}^{{\infty}\int_{0}}{\infty}\operatorname B^2(x+n+k,n+1)\ dx =\binom{2n}n\gamma-\sum_{j=0}^n\binom nj^2(2(H_{n-j}-H_j)\ln((j+n)!)+H_{n+j})$$

我在这里定义：
$$a_n:= \sum_{j=0}^n\binom nj^2(2(H_{n-j}-H_j)\ln((j+n)!))$$

现在我需要推导当$n\to \infty$时$a_n$的渐近展开，我认为可以用拉普拉斯积分渐近展开法来处理。

核心极限证明问题 #

我还有一个关键的极限需要证明：
$$ \lim_{n\to \infty} \frac{n\ 4^{2n}}{e{2n}}{-d_{2n} a_n}\leq \frac{3}{4}$$
其中$d_{2n}=\text{LCM}(1,2,...,2n)$是1到2n的最小公倍数，${x}$表示$x$的小数部分。

补充疑问 #

另外我还有一个小疑问：能不能先简化上述的小数部分${-d_{2n} a_n}$？能不能利用$a_n$中的（反）对称性来得到更简洁的形式？

我非常希望能得到一个可以采纳的解答，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max