关于概率生成函数的Parseval-Plancherel型恒等式及逆变换类比的技术问询

假设 $f,g \in L^2(\mathbb R)$，定义 $f$ 的傅里叶变换为：
$$\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{-i,x,\xi}, f(x),\mathrm{d}x, \quad \xi \in \mathbb R.$$

大家熟知的Parseval-Plancherel恒等式将 $f-g$ 的2-范数和 $\hat{f} - \hat{g}$ 的2-范数联系起来：
$$\int_{\mathbb R} |f(x)-g(x)|^2,\mathrm{d} x = \frac{1}{2,\pi},\int_{\mathbb R} |\hat{f}(\xi)-\hat{g}(\xi)|^2,\mathrm{d} \xi \tag{1}.$$

现在我想把这个思路延伸到概率分布的场景：假设 $f = (f_0,f_1,\ldots) \in \mathcal{P}(\mathbb N)$ 和 $g = (g_0,g_1,\ldots) \in \mathcal{P}(\mathbb N)$ 是定义在自然数集 $\mathbb N$ 上的概率分布，对每个 $z \in (0,1)$，定义 $f$ 的概率生成函数为：
$$\hat{f}(z) = \sum_{n\geq 0} z^n,f_n. $$

我一直在琢磨，有没有一个自然的类似Parseval-Plancherel恒等式（式(1)）的关系式，能把概率生成函数也关联起来？可惜找了好久，都没找到相关的有用参考文献或者资料。

补充提问（受Andrew的回答启发） #

后来受Andrew给出的回答启发，我又想到一个问题：是否存在一族函数（不一定要求是正交基）${\varphi_n(z)}_{n \geq 0}$，使得对每个 $n \in \mathbb N$，都满足：
$$f_n = \int_0^1 \hat{f}(z),\varphi_n(z),\mathrm{d} z \tag{2}.$$

我把式(2)看作是逆傅里叶变换的一种类比，只不过这里是针对概率生成函数的版本。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fei Cao