关于总和为2023的正整数序列长度期望值的求解及相关组合推导疑问

算力阿峰

2026-4-23

我今天在一场已经结束的线上竞赛中遇到了这个问题：
Anna 写下一个正整数序列 $(a_1, a_2, · · · , a_n)$，满足
$$a_1 + a_2 + · · · + a_n = 2023$$
假设Anna选择的序列是所有满足条件的序列中的任意一个（等概率），求 $n$ 的期望值。注：$n$ 的期望值是所有可能情况中 $n$ 的平均值。

我的解题尝试

我发现对于固定的 $n$，上述方程有 $\binom{2022}{n-1}$ 组解。我的推导思路（如果你熟悉隔板法可以直接跳过）：

一般来说，组合数学里可以证明：方程 $x_1+x_2+\ldots+x_r=n$ 有 ${}^{n-1}\textrm C_{r-1}$ 组正整数解（给定 $n$ 和 $r$）。

这个问题可以类比成：把 $n$ 个连续的点分成 $r$ 部分，每部分至少有1个点：
$\overbrace{\begin{array}{c|c|c|}\hline \underbrace{\cdots}{x_1} & \underbrace{\cdots}{x_2} & \underbrace{\cdots}{x_3} \ \hline\end{array}\cdots\begin{array}{|c|c}\hline \underbrace{\cdots}{x_{r-1}} & \underbrace{\cdots}_{x_r} \ \hline\end{array}}^n\tag*{}$

我们需要 $r-1$ 个分隔符（也就是 $|$）来划分出 $r$ 个部分。首先给每个部分先分配1个点，这样就剩下 $n-r$ 个点可以自由分配。把 $r-1$ 个分隔符和 $n-r$ 个点进行排列的方式数就是：
$$\dfrac{(n-r+r-1)!}{(n-r)!\cdot(r-1)!}={}^{n-1}\textrm C_{r-1}\tag*{}$$

接下来，$n$ 的取值范围是从1到2023，所以所有满足和为2023的正整数序列的总数是：
$$\sum_{n=1}^{{2023}\binom{2022}{n-1}=2}{2022}$$

那么序列长度为 $r$ 的概率就是：
$$P(n=r)=\frac{1}{2^{2022}}\binom{2022}{r-1}$$

因此，$n$ 的期望值就是 $\sum_{r=1}^{2023}r\cdot P(n=r)$。