基于《第二年微积分》（David Bressoud著）：绕z轴逆时针气旋式力场的微分1-形式推导问询

嗨，我来帮你理清这个问题的思路～首先先把你的问题和当前的思考整理清楚：

问题（来自《第二年微积分》David Bressoud著）：
考虑一个绕z轴逆时针旋转的气旋式力场，其强度与到z轴的距离成反比。证明该力场可以用1-形式：$$c\left(\frac{-ydx}{x^2 +y^2}+ \frac{xdy}{x^2+y2}\right)$$ 描述，其中c为某常数。

我的思考：
我知道到z轴的距离是$\sqrt{x^2+y2}$，所以力场的大小是$|\vec{F}| = \frac{k}{\sqrt{x^2+y2}}$，k是比例常数。
现在我不知道如何建模力场的气旋方向。
简单来说，$\vec{F} = \frac{k}{\sqrt{x^2+y2}}\vec{r}$，其中$\vec{r}$是单位向量，但我不知道$\vec{r}$是什么。
$\vec{r}$可能是力场的方向向量，但我既不知道力场的方程，也不清楚它的形态。

别担心，咱们一步步来拆解：

• 第一步：确定逆时针气旋的方向单位向量
  绕z轴逆时针旋转的方向，本质是垂直于径向向量的方向。在xy平面上，任意点$(x,y)$的径向向量是$\vec{R} = x\vec{i} + y\vec{j}$，把这个向量逆时针旋转90度，就能得到气旋的方向向量：$-y\vec{i} + x\vec{j}$。
  接下来把这个向量单位化，它的模长是$\sqrt{(-y)^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$，所以单位方向向量就是：
  $$\vec{r} = \frac{-y\vec{i} + x\vec{j}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$

• 第二步：构建完整的力场向量$\vec{F}$
  你已经得到了力场的大小是$\frac{k}{\sqrt{x^2+y2}}$，把它乘以刚才的单位方向向量，就得到：
  $$\vec{F} = \frac{k}{\sqrt{x^2+y2}} \cdot \frac{-y\vec{i} + x\vec{j}}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{k(-y\vec{i} + x\vec{j})}{x^2 + y^2}$$

• 第三步：从向量场转换为对应的1-形式
  回忆一下，平面向量场$\vec{F} = P\vec{i} + Q\vec{j}$对应的微分1-形式就是$Pdx + Qdy$。这里$P = \frac{-ky}{x^2 + y^2}$，$Q = \frac{kx}{x^2 + y^2}$，把比例常数k换成题目里的c（只是符号不同，本质是同一个常数），代入后就得到：
  $$c\left(\frac{-ydx}{x^2 +y^2}+ \frac{xdy}{x^2+y2}\right)$$
  这完全匹配题目要求的1-形式啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Karman Walia