求三角形中线段交点形成的比例——寻求简洁的合成几何解法

问题描述 #

在△ABC的边AB上，我依次画出了点$P_1, P_2, \cdots, P_{29}$，满足所有相邻线段长度相等：
$$AP_1=P_1 P_2=P_2 P_3=\cdots=P_{29} B$$
设M是BC的中点，$Q_i$是线段$CP_i$和AM的交点（$1 \leq i \leq 29$），我需要计算$\frac{Q_8 Q_{20}}{Q_{12}Q_{24}}$的值。

我的坐标解法（可行但不够优雅） #

为了求解，我先设定了一组坐标：让A点在$(0,0)$，B点在$(60,0)$，这样每个$P_i$的坐标就是$(2i,0)$（毕竟AB被分成了30等份，设总长度为60的话每段刚好是2）。考虑到题目里的比例应该是定值，我干脆把△ABC设成了等边三角形，这样C点坐标就是$(30, 30\sqrt{3})$，M作为BC中点，坐标就是$(45, 15\sqrt{3})$。

接下来推导两条直线的方程：

• AM的直线方程是$y=\frac{x}{\sqrt{3}}$
• $CP_i$的直线方程是$y=30\sqrt3 +\frac{900\sqrt 3}{2i-30}-\frac{30\sqrt 3 x}{2i-30}$

联立这两个方程求解交点$Q_i$，得到它的坐标是$\left(\frac{90i}{i+30}, \frac{90\sqrt 3 i}{i+30} \right)$。把i=8、20、12、24代入计算线段长度的比例，最后得到：
$$\frac{\frac{216\sqrt 3}{19}}{\frac{200}{7\sqrt 3}}=\frac{567}{475}$$

不过这个方法不仅计算过程又乱又麻烦，而且只针对等边三角形这一种特殊情况，总感觉不够通用也不够优雅。我希望能找到一个更简洁的合成几何解法，不需要依赖坐标设定和复杂的代数计算。

（我已经附上了包含$P_8$和$P_{20}$的示意图）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Indecisive