关于do Carmo微分几何著作中曲率线方程的两个技术疑问

嘿，你的这两个问题抓得特别准，刚好切中曲率线概念里的核心要点，我来给你慢慢理清楚：

第一个问题：解方程得到的方向是什么？ #

你的理解完全正确！当你解这个二次方程时，得到的是参数平面上的方向（也就是$(u',v')$的比值），这些方向对应的就是曲面在该点的主方向——也就是法曲率取到最大值或最小值的方向。

拿你举的旋转曲面例子来说，那些$x(u_0,v)$或者$x(u,v_0)$的参数曲线，它们的切线方向正好就是主方向，沿着这些曲线走，每一点的切线方向都是法曲率的极值方向，所以这些曲线就是曲率线。本质上，曲率线就是由主方向“拼接”而成的曲线，解这个方程找到的方向，就是你说的那种让切线向量对应法曲率极值的方向。

第二个问题：N=M=L=0的点是脐点吗？ #

没错，这些点就是脐点！

脐点的定义是曲面在该点的所有方向法曲率都相等（换句话说，两个主曲率相等），这时候所有方向都是主方向——反映到那个二次方程上，就是方程对任意$(u',v')$都成立，那必然要求方程的三个系数$L,M,N$全为0。反过来，脐点处也一定满足$L=M=N=0$，因为此时主方向不唯一，二次方程有无数解，系数只能全为0。

另外提个小细节：你引用的do Carmo的系数里有个笔误，第一个$N(u,v)$应该是$L(u,v)$，正确的三组系数应该是：

• $L(u,v)= gF - fG$
• $M(u,v)= gE - eG$
• $N(u,v)= fE - eF$
  这个小错误别影响你后续的推导~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Skinner.