含正实数与正整数的不等式证明求助

嘿，我给你几个实用的思路提示，应该能帮你搞定这个不等式：

• 先试试排序不等式：不妨假设(a \geq b \geq c)（因为不等式是对称的，变量顺序不影响结果），这时你会发现(a^n \geq b^n \geq c^n)，同时(\frac{1}{b+c} \geq \frac{1}{a+c} \geq \frac{1}{a+b})，这两个序列是同序的，用排序不等式的同向求和≥反向求和的性质，把左边的式子和一些中间式关联起来，应该能推导出和右边的关系。
• 或者用Chebyshev不等式：同样基于变量的大小假设，同序序列的乘积和大于等于均值的乘积乘以项数，把左边的和转化一下，直接和右边的均值形式挂钩，这个可能更直接。
• 拆分单个项来看：比如把左边的(\frac{a^{n}{b+c})和右边的(\frac{a}{n-1}}{2})对比，变形一下得到(\frac{a^n}{b+c} - \frac{a^{n-1}}{2} = \frac{a^{n-1}(2a - b - c)}{2(b+c)})，然后把三项加起来，就变成(\frac{1}{2}\sum \frac{a^{n-1}(2a - b - c)}{b+c})，接下来可以把这个式子重新组合，比如写成(\frac{1}{2}\sum \frac{a^{n-1}(a - b) + a^{n-1}(a - c)}{b+c})，再交叉配对和(\frac{b^{n-1}(b - a)}{a+c})这类项合并，你会发现每组都能证明是非负的。

你可以先从排序不等式的思路入手，因为对称不等式假设变量顺序是常用的技巧，上手比较容易~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Roman Dryndik