关于可缩空间映射性质与基本群π₁(S¹)的推理矛盾疑问

先跟着你的思路把可缩空间的映射性质推导一遍，再拆解这个看似矛盾的问题：

假设$X$是可缩空间，$f\colon X\to Y$是任意连续映射。根据可缩空间的定义，存在同伦$H\colon X\times I\to X$，满足：

• 对所有$x\in X$，$H(x,0)=x$；
• 存在某个定点$x_0\in X$，使得对所有$x\in X$，$H(x,1)=x_0$。

接下来构造复合映射$f\circ H\colon X\times I\to Y$，它有这些性质：

• 连续性：连续映射的复合必然连续；
• 初始时刻：当参数$t=0$时，$(f\circ H)(x,0)=f(H(x,0))=f(x)$；
• 终止时刻：当参数$t=1$时，$(f\circ H)(x,1)=f(H(x,1))=f(x_0)$，我们把这个常值映射记作$y_0$。

显然，$f\circ H$就是连接$f$和常值映射$y_0$的同伦，这就得出了结论：

如果$X$是可缩空间，那么任意映射$f\colon X\to Y$都是零伦的（nullhomotopic）。

到这里推导都完全正确，但接下来的疑问就来了：
区间$I$是可缩空间，那按照上面的结论，任意映射$I\to S^{1$都应该是零伦的。那这岂不是意味着$\pi_1(S}1)=0$？可我们都知道圆周$S^{1$的基本群$\pi_1(S}1)\cong\mathbb{Z}$，是无限循环群而非平凡群。那这个推理里到底哪里出了问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rough_Manifolds