正实数序列的和与积相关不等式的证明方法问询

各位好，我最近卡在了一个正实数序列相关的不等式证明上，想请教一下大家有没有思路或者可行的证明方法。具体问题如下：

给定正实数序列 $(x_1,\ldots,x_n) \in (\mathbb{R}_+)^n$，需要证明：

$$2\max(x_1,\ldots,x_n)\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k - \prod_{k=1}^n x_k^{1/n}\right) \ge \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(x_k - \prod_{k=1}^n x_j^{1/n}\right)2$$

注：所有的求和与乘积都是从 $k=1$ 开始的，刚才写LaTeX的时候没把下标标全，这里补充说明一下。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric