线性代数中涉及点积的恒等式推导疑问

嘿，我来帮你理清楚这个恒等式的推导逻辑，其实核心是搞清楚向量维度和矩阵乘法的运算规则：

首先要明确一个默认前提：线性代数教材里提到的向量（比如这里的$u_1, v \in \mathbb{R}^n$），通常都是以列向量的形式存在的——这是很多教材不会特意点明，但却是理解这个转换的关键。

我们一步步拆解：

1. 点积的矩阵表示：$v \cdot u_1$ 确实可以写成 $v^T u_1$，这是一个标量（1×1的矩阵，数值上就是两个向量对应元素相乘再求和）。
2. 左边的表达式$(v \cdot u_1)u_1$：这是「标量乘以列向量」，结果是一个$n$维的列向量，和$v$的维度一致。
3. 右边的表达式$u_1 u_1^T v$：
   • 先计算$u_1^T v$：这其实就是$v^T u_1$（因为标量的转置等于它本身），同样是一个标量；
   • 再用列向量$u_1$乘以这个标量，得到的结果和左边的$(v \cdot u_1)u_1$完全等价。

我们还可以用维度验证来强化理解：

• $u_1$是$n \times 1$的列向量，$u_1^T$是$1 \times n$的行向量，所以$u_1 u_1^T$是一个$n \times n$的方阵；
• 这个方阵乘以$n \times 1$的列向量$v$，最终得到的是$n \times 1$的列向量，和左边表达式的维度完全匹配。

举个具体的小例子会更直观，比如取$n=2$：
设$u_1 = \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}$，$v = \begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix}$

• 左边：$(v \cdot u_1)u_1 = (a \times 1 + b \times 0)\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\0\end{bmatrix}$
• 右边：$u_1 u_1^T v = \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\0\end{bmatrix}$

你看，两者的结果完全一致，这样是不是就把这个转换的逻辑搞通啦？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tan Yong Boon