非闭集情形下康托尔交集定理相关结论的疑问咨询

嗨，这个问题问得很好，我们一步步来拆解清楚：

首先，我们先找到那个关键的点$x$。因为每个$A_n$都是非空的，我们可以从每个$A_n$里挑一个点$x_n$。由于序列${A_n}$是递减的（$A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \dots$），所以对于任意$k \geq n$，$x_k$都属于$A_k \subseteq A_n$，这意味着$x_n$和$x_k$之间的距离不会超过$A_n$的直径，也就是$d(x_n,x_k) \leq \text{diam}(A_n)$。

题目里给出$\lim_{n\to\infty} \text{diam}(A_n) = 0$，所以当$n$足够大时，这个直径可以任意小，那${x_n}$就是一个柯西序列。而$X$是完备度量空间，柯西序列一定收敛，所以${x_n}$会收敛到某个点$x \in X$——这就是我们要找的那个$x$。

接下来要证明：对任意以$x$为中心的球$B_x(r)$（$r>0$），都存在某个$A_n$完全包含在这个球里。我们可以这样推导：

• 因为$x_n \to x$，所以存在某个$N_1$，当$n \geq N_1$时，$d(x_n,x) < r/2$；
• 又因为直径趋于0，存在某个$N_2$，当$n \geq N_2$时，$\text{diam}(A_n) < r/2$；
• 取$N = \max(N_1,N_2)$，那么对于$A_N$里的任意一点$y$，根据直径的定义，$d(y,x_N) \leq \text{diam}(A_N)$，所以$d(y,x) \leq d(y,x_N) + d(x_N,x) < \text{diam}(A_N) + r/2 < r/2 + r/2 = r$。这就说明$y \in B_x(r)$，也就是整个$A_N$都包含在$B_x(r)$里。

至于为什么非闭集也能成立？其实这个结论不需要$A_n$是闭集——闭集的条件是用来保证$x$属于所有$A_n$的交集（也就是康托尔交集定理的核心结论），但这里的结论只是说存在某个$A_n$能放进$x$的任意邻域里，不需要$x$在$A_n$里，也不需要$A_n$是闭集。核心是完备性保证了我们能找到那个极限点$x$，而直径趋于0让足够靠后的$A_n$整体“缩”到$x$的附近，整个集合都进入$x$的任意小邻域。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Saim Faigol