关于Suto准周期薛定谔算子谱论文中证明环节的线性代数疑问

嘿，我来帮你拆解这个困惑的点——核心是局部齐次性，别被那个单点的非齐次项$\delta_{0k}$误导了！

先回忆离散薛定谔算子的常规形式：对任意序列$\psi$，$(H\psi)(k) = \psi(k+1) + \psi(k-1) + V(k)\psi(k)$（$V$是势函数）。那方程$(H-E)\psi(k) = \delta_{0k}$拆开来看看：

• 当$k > 0$时，$\delta_{0k}=0$，所以方程退化为齐次方程$(H-E)\psi(k)=0$；
• 当$k < 0$时，同样$\delta_{0k}=0$，方程也是齐次的$(H-E)\psi(k)=0$；
• 只有$k=0$这一个点，方程是非齐次的：$(H-E)\psi(0)=1$。

再回到作者的逻辑链：
作者之前已经证明了所有满足全局齐次方程$(H-E)\phi=0$的序列（不管是否属于$\ell^2$）都满足恒等式$(*)$。现在看这个格林函数解$\psi$：

• 把$\psi$限制在正整数集$\mathbb{Z}_{>0}$上，这部分序列完全是齐次方程的解，所以必然满足$(*)$；
• 同理，把$\psi$限制在负整数集$\mathbb{Z}_{<0}$上，这部分也是齐次方程的解，同样满足$(*)$；
• 至于$k=0$这个单点，它是唯一的非齐次项来源，但作者的恒等式$()$大概率是和序列的递推性质、或者$n$步矩阵$M(n)$对应的渐近/局部行为有关——单个点的非齐次性不会破坏正负半轴上序列满足$()$的结论。

再串起整个反证逻辑：
作者要证的是「若$E$不在谱里，则$x_n$无界」，用的反证法：假设$x_n$有界，那么所有齐次解都满足$(*)$；而$E$不在谱意味着$H-E$可逆，所以格林函数$\psi$（满足$(H-E)\psi=\delta_{0\cdot}$的$\ell^{2$解）存在；这个$\psi$在正负半轴都是齐次解，因此满足$(*)$；接下来作者就能用$(*)$推出矛盾（比如这个$\psi$会违反$\ell}2$的有界性，和格林函数的存在性矛盾），从而推翻「$x_n$有界」的假设，完成证明。

其实你之前的误区是以为要全局满足$(H-E)\psi=0$才能用$()$，但作者真正用到的是$\psi$在除单点外的所有位置都满足齐次方程，而$()$的性质刚好可以局部/半全局应用，不需要整个序列都是齐次解～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GSofer