可分巴拿赫空间V对应的有界线性算子空间ℒ(V,W)是否可分？

嘿，这个问题问得挺到位的！答案是不一定——得看V和W的具体情况，我给你拆解一下：

先看「ℒ(V,W)不可分」的典型例子 #

• 例子1：取V=l²（可分的希尔伯特空间），W=l²。我们看ℒ(V,W)里的对角算子：每个对角算子对应一个有界实数列(aₙ)，把向量x=(x₁,x₂,...)映射成(a₁x₁,a₂x₂,...)。这个对角算子的集合和空间l^∞（所有有界实数列）是同构的，而l^∞是出了名的不可分空间——你找不到可数个元素能稠密覆盖它。既然ℒ(V,W)包含一个不可分的子集，那它自己肯定也不可分。
• 例子2：取V=l¹（可分巴拿赫空间），W=ℝ（一维可分空间）。这时候ℒ(V,W)就是V的对偶空间V*=l^∞，同样是不可分的。哪怕W是有限维可分的，只要V的对偶空间不可分，ℒ(V,W)也会跟着不可分。

再看「ℒ(V,W)可分」的情况 #

• 例子1：如果V=l²（可分，且它的对偶空间V*=l²也可分），W=ℝ^n（有限维可分空间）。这时候ℒ(V,W)和(V*)^n同构，也就是l²的n次乘积空间。有限个可分空间的乘积还是可分的，所以ℒ(V,W)自然可分。
• 例子2：如果V是有限维可分空间（比如ℝ^m），W是任意可分巴拿赫空间。这时候ℒ(V,W)其实和W^m同构（每个算子由它在V的基上的像决定），而可分空间的有限次乘积依然可分，所以ℒ(V,W)也是可分的。

总结一下 #

关键在于W的维度/可分性，以及V的对偶空间的可分性。当V是可分巴拿赫空间时，ℒ(V,W)可分的充分条件包括：V有限维且W可分，或者W有限维且V的对偶空间可分。但反过来，大部分常见的可分V和W的组合（比如两个无穷维可分希尔伯特空间）都会导致ℒ(V,W)不可分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MackeyTopology