关于有限域𝔽ₚ²相关商环同构性及商环大小的技术咨询

嗨！很高兴帮你理清这个困惑——你提到的点其实涉及到有限域的唯一性和环与域的区别这两个关键知识点，咱们一步步来拆解：

首先澄清一个关键混淆：ℤₚ² ≠ 𝔽ₚ² #

你开头提到的ℤₚ²和𝔽ₚ²是完全不同的对象：

• ℤₚ²是模p²的整数环，它有p²个元素，但不是域——因为元素p是零因子（p*p ≡ 0 mod p²），没有乘法逆元。
• 𝔽ₚ²是p²阶的有限域，是一个满足所有域公理的代数结构。
  你真正想问的应该是：当-1和2都是𝔽ₚ中的非二次剩余时，𝔽ₚ[x]/(x²+1)和𝔽ₚ[x]/(x²-2)是否同构？答案是肯定的！

为什么这两个商域是同构的？ #

这要归功于有限域的核心唯一性定理：

对于任意素数幂q=pⁿ，在同构意义下恰好存在一个q阶有限域。

具体到你的问题：

• 当c是𝔽ₚ中的非二次剩余时，多项式x² - c在𝔽ₚ[x]中是不可约的（如果它可约，就意味着存在a∈𝔽ₚ使得a²=c，即c是二次剩余，矛盾）。
• 不可约多项式生成的商环是域，且𝔽ₚ[x]/(x² - c)的元素个数是p²（每个元素都可以写成a + bx的形式，其中a,b∈𝔽ₚ，x是x² - c的根的等价类，总共有p*p=p²个不同元素）。
• 不管你选哪个非二次剩余c，得到的商域都是p²阶有限域，根据唯一性定理，它们必然是同构的。这两个商域只是同一个𝔽ₚ²的不同“表示形式”，就像用不同的符号表示同一个数一样。

商环大小的一般结果 #

对于有限环上的多项式商环，有一个简单的计算规则：
假设R是一个有限环（比如𝔽ₚ有p个元素，ℤₘ有m个元素），f(x)是R[x]中的n次首一多项式，那么商环R[x]/(f(x))的元素个数是|R|ⁿ。

举几个例子：

• 𝔽ₚ[x]/(x² - c)：n=2，|𝔽ₚ|=p，所以元素个数是p²，和之前的结论一致。
• ℤ₅[x]/(x³ + 2x + 1)：ℤ₅有5个元素，多项式是3次，所以商环有5³=125个元素。
• ℤ₄[x]/(x² + x + 1)：ℤ₄有4个元素，多项式是2次，所以商环有4²=16个元素。

这个规则的本质是：商环中的每个元素都可以唯一表示为次数小于n的多项式，系数取自R，所以总个数就是R的元素个数的n次方。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Grifball