关于xyz=1条件下三元对称不等式的证明思路修正及手动解法求助

和我之前所有的问题一样，这道题也是出自同一本书！:)

问题描述 #

已知：$x,y,z>0$ 且 $xyz=1$，求证：
$$\frac{x^2y2}{x^2y2+x^7+y7}+\frac{y^2z2}{y^2z2+y^7+z7}+\frac{z^2x2}{z^2x2+z^7+x7}\leq 1$$

我的尝试思路 #

我原本想借助Vasc不等式，但做了一点改动：

• 首先对单个项进行放缩：
  $$\frac{x^2y2}{x^2y2+x^7+y7}\leq \frac{x^2y2}{x^2y2+2x^{{\frac{7}{2}}y}{\frac{7}{2}}}=\frac{t^2}{t2+2t^{\frac{7}{2}}}$$
  这里令 $t=xy$（因为 $xyz=1$，所以 $t=\frac{1}{z}$，暂时先以 $t$ 代换）

• 接下来我想找到合适的 $k$，使得以下不等式成立：
  $$\frac{t^2}{t2+2t^{\frac{7}{2}}}\leq \frac{t^k}{2(t{2k}+t^k+1)} \tag{*}$$
  整理后得到：
  $$2t^{{\frac{7}{2}+k}+2t}{\frac{7}{2}}-t^{2+k}-t2-2t^{2k+2}\geq 0$$

• 令 $f(t)=2t^{{\frac{7}{2}+k}+2t}{\frac{7}{2}}-t^{2+k}-t2-2t^{2k+2}$，我尝试让 $f'(1)=0$，解出了 $k=2$

• 但代入 $k=2$ 后，不等式 $(*)$ 变成：
  $$2t^6 +t^4+t2 \geq 2t^5 \cdot t^{{\frac{1}{2}}+2t}3 \cdot t^{\frac{1}{2}}$$
  这个式子显然不成立！

求助 #

有没有大佬能修正我的这个思路，或者提供一个全新的手动解法？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ttp266