独立同分布序列依概率收敛的证明及常数求解疑问
问题描述
我最近碰到这么个概率题，想请教一下：给定独立同分布的随机变量$X_1,\ldots,X_n$，它们的概率密度函数为：
$$
f_{X}(x) = \dfrac{1}{8} x e^{-\dfrac{|x|}{4}} ; \mathbb{I}{(-\infty,\infty)} (x)
$$
定义统计量$ U{n} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} |X_i| }{n-2}$，需要证明$U_n \overset{P}{\to} c$（依概率收敛到常数$c$），并求出$c$的值。
我的尝试思路
我先把$U_n$做了变形，写成：
$$ U_{n} = \dfrac{n}{n-2} \dfrac{\sum_{i=1}^{n} |X_i| }{n} $$
当时想着用大数定律，觉得样本均值$\dfrac{\sum_{i=1}^{n} |X_i| }{n}$应该依概率收敛到$\mathbb{E}(|X|)$，接下来就需要计算这个期望。然后我算了积分：
$$ \mathbb{E}(|X|) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot \dfrac{1}{8} x e^{-\dfrac{|x|}{4}} dx = \int_{-\infty}^{0} - \dfrac{1}{8} x^2 e^{\dfrac{x}{4}} dx + \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{8} x^2 e^{-\dfrac{x}{4}} dx = 0$$
于是我觉得$U_n$依概率收敛到0，毕竟$\dfrac{n}{n-2}$当$n$趋向无穷时趋近于1，但我总觉得哪里不对，不确定这个结果是否正确。
错误纠正与正确解法
其实你这里计算$\mathbb{E}(|X|)$的时候犯了一个小疏忽！仔细看一下两个积分的符号：
当$x<0$时，$|x|=-x$，所以$|x|\cdot f_X(x) = (-x)\cdot \frac{1}{8}x e^{\frac{x}{4}} = -\frac{1}{8}x^2 e{\frac{x}{4}}$，这里$x$是负数，$x2$是正数，$e^{\frac{x}{4}}$当$x<0$时也是正数（指数函数恒正），所以整个被积函数是正数；而右边$x>0$的积分被积函数显然也是正数，所以这两个积分的结果是相等的正数，加起来是两倍的正积分值，根本不会抵消为0。
我们重新来计算$\mathbb{E}(|X|)$：
首先，注意到$|x|f_X(x)$是偶函数（把$x$换成$-x$，函数值不变），所以可以简化计算：
$$
\mathbb{E}(|X|) = 2\int_{0}^{\infty} |x|f_X(x)dx = 2\int_{0}^{\infty} \frac{1}{8}x^2 e^{-\frac{x}{4}} dx = \frac{1}{4}\int_{0}{\infty}x2 e^{-\frac{x}{4}} dx
$$
接下来用伽马函数计算这个积分，伽马函数定义为$\Gamma(k)=\int_{0}{\infty}t{k-1}e^{-t}dt=(k-1)!$，做变量替换$t=\frac{x}{4}$，则$x=4t$，$dx=4dt$，代入后积分变为：
$$
\int_{0}{\infty}x2 e^{-\frac{x}{4}} dx = \int_{0}{\infty}(4t)2 e^{-t}\cdot4dt = 16\times4\int_{0}{\infty}t2 e^{-t}dt=64\Gamma(3)=64\times2!=128
$$
所以$\mathbb{E}(|X|)=\frac{1}{4}\times128=32$。
接下来看$\frac{n}{n-2}$的极限：当$n\to\infty$时，$\frac{n}{n-2}=\frac{1}{1-\frac{2}{n}}\to1$，这个普通极限自然也是依概率收敛到1。
根据依概率收敛的性质：如果$Y_n\overset{P}{\to}a$，$Z_n\overset{P}{\to}b$，那么$Y_nZ_n\overset{P}{\to}ab$。这里$\frac{n}{n-2}\overset{P}{\to}1$，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|X_i|\overset{P}{\to}\mathbb{E}(|X|)=32$，所以：
$$U_n=\frac{n}{n-2}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|X_i|\overset{P}{\to}1\times32=32$$
所以最终$U_n$依概率收敛到的常数$c=32$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Walrasian soldier
