关于「由两个元素生成的含不可数多个正规子群的群」构造证明的两处疑问

疑问1：为什么$\bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$有不可数多个子群？ #

先给你掰明白这个点：$\bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$是所有只有有限个非零整数分量的无限整数序列构成的加法群，比如$(2,0,-5,0,...)$这种。它的一组标准生成元是单位向量$e_n$——也就是第$n$位是1、其余位置全为0的序列（$n \in \Bbb N$）。

接下来的关键操作是给$\Bbb N$的每个子集配对一个子群：

• 对任意子集$S \subseteq \Bbb N$，定义子群$H_S = \langle e_n \mid n \in S \rangle$，也就是由所有下标在$S$里的单位向量生成的子群。比如$S$是所有奇数时，$H_S$就是所有「只有奇数位置是非零整数」的序列组成的群。

为什么这些子群数量不可数？理由有两个：

1. 不同子集对应不同子群：如果$S_1 \neq S_2$，不妨存在某个$k \in S_1$但不在$S_2$里，那么$e_k$属于$H_{S_1}$但绝对不属于$H_{S_2}$（因为$H_{S_2}$里的元素都是$S_2$中单位向量的整数组合，不可能出现第$k$位非零的情况）。
2. $\Bbb N$的子集总数是不可数的：这是康托对角线论证的经典结论——自然数集的幂集是不可数集。

既然每个子集都对应唯一的子群，而子集数量不可数，那$\bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$的子群数量自然也是不可数的。

疑问2：如何定义同态$\varphi: \bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z \to C$并证明它是单射？ #

你想把$e_n$映射到$c_n = [s, t^n s t^{-n}]$的思路完全正确！咱们一步步拆解：

1. 定义$\varphi$

$\bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$是自由交换群，它的结构完全由生成元${e_n \mid n \in \Bbb N}$决定——只要给每个生成元指定像，就能唯一扩展成整个群的同态。我们直接定义：
$$\varphi(e_n) = c_n = [s, t^n s t^{-n}] = s t^n s t^{-n} s^{-1} t^{-n} s^{-1} t^n$$
对任意元素$\sum_{k=1}^m a_k e_{n_k} \in \bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$（其中$a_k$是整数，且只有有限个非零），把$\varphi$线性扩展为：
$$\varphi\left(\sum_{k=1}^m a_k e_{n_k}\right) = \prod_{k=1}^m c_{n_k}^{a_k}$$
这里因为$C$是$G$的中心子群（中心里的元素两两交换），所以乘积的顺序不影响结果。

2. 证明$\varphi$是单射

核心要说明：如果$\prod_{k=1}^m c_{n_k}^{a_k} = e_G$（$e_G$是$G$的单位元），那么所有$a_k = 0$。

注意$G$的定义关系：${[[s,t^nst{-n}],s]: n \in \Bbb Z} \cup {[[s,t^nst{-n}],t]: n \in \Bbb Z}$，这些关系只要求每个$c_n$与$s$、$t$交换，完全没有给出任何$c_n$之间的等式约束。这意味着这些$c_n$在$C$中是「自由交换」的——它们生成的子群本身就是秩为可数无限的自由交换群，和$\bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$的结构完全一致。

更严谨的验证方式：我们可以构造一个反向同态$\psi: C \to \bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$，让$\psi(c_n) = e_n$，这样$\psi \circ \varphi$就是$\bigoplus_{\Bbb N} \Bbb Z$上的恒等映射。如果$\varphi(x) = e_G$，那么$\psi(\varphi(x)) = \psi(e_G) = 0$，即$x = 0$，这就证明了$\varphi$是单射。

补充：为什么要考虑那些双层 commutator？

$[[s, t^n s t^{-n}], s]$和$[[s, t^n s t^{-n}], t]$等于单位元，本质是在强制$c_n$与$s$、$t$都交换，从而保证$c_n$属于$G$的中心。只有中心子群的所有子群都是$G$的正规子群——这是整个构造的核心逻辑，如果$C$不是中心，那它的子群不一定在$G$中正规，也就无法得到「不可数多个正规子群」的结论了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago