关于Lipschitz函数几乎处处等价于可微函数的尖锐性及中间正则性类存在性的技术问询

先给我的问题做个背景铺垫：根据Rademacher定理，Lipschitz（也就是$C^{{0,1}$）函数是几乎处处可微的。有意思的是，这个结论其实是**尖锐**的——比如魏尔斯特拉斯函数对任意$\alpha<1$都是$C}{0,\alpha}$的，但它处处不可微，而且这种情况在某种意义上是generic的（维基百科提到过这点）。所以从Lebesgue测度为0的集合之外来看，我们可以说：

$$\text{Lipschitz}=\text{differentiable}.$$

接下来，我们给Lipschitz函数$f$定义$Df$：在导数有定义的点上取导数，其他点设为$\infty$。现在有这么一个定理：Lipschitz函数可以用$C^{1$函数做如下意义下的逼近：对任意Lipschitz函数$f$和任意$\epsilon>0$，存在$C}1$函数$g$满足：

$$\mathscr{L}^n({f\neq g}\cup{Df\neq Dg}\cup {Df=\infty})<\epsilon.$$

换句话说，在去掉测度任意小（但正）的集合之后，

$$\text{Lipschitz} = C^1.$$

我现在感兴趣的核心问题是：前面提到的“Lipschitz几乎处处等于可微函数”这个结论是不是尖锐的？换句话说，有没有一个中间正则性类$K$满足：

$$\text{differentiable}\subset K\subset C^1,$$

并且对每个Lipschitz函数$f$，都存在某个$g\in K$使得$f$和$g$几乎处处相等？

先提一个不算有效答案的思路：如果定义域是$\mathbb{R}^{n$或者$\mathbb{R}}n$中带Lipschitz边界的有界区域$\Omega$，Morrey不等式告诉我们，当$p>n$时，

$$W^{1,p}\subset C^{0,\alpha}.$$

所以一开始我以为，如果我们期望$K$是Sobolev空间$W^{1,p}$，在这些温和的定义域限制下，必然有$p\leq n$——但后来发现我犯了个错误。反过来想，要是我们尝试找$p>n$使得$W^{1,p}\subset C^{1,\alpha}$，根据Sobolev嵌入定理算出来会得到$p<0$，这说明其实刚才的那些Sobolev空间并没有被排除掉。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mr. Brown