关于大O符号与小o符号的后续问题：由$f(n)=O(n^2)$推导$rac{f(n)}{n^2 \log^2 n} = o(\frac{1}{\log^2 n})$的困惑

你完全抓对了问题的关键——仅凭借$f(n)=O(n^{2)$这个条件，确实无法推导出$\frac{f(n)}{n}2 \log^2 n} = o(\frac{1}{\log^2 n})$这个结论，你的等价转化推导也是完全正确的：

$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{f(n)}{n^2 \log^2 n}}{\frac{1}{\log^2 n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{n^2}
$$

要让这个极限等于0，必须满足$f(n)=o(n^{2)$（也就是$f(n)$增长的速度比$n}2$慢，最终和$n^{2$的比值趋于0），但$O(n}2)$只要求$f(n)$被某个常数倍的$n^{2$上界限制，完全允许$f(n)$和$n}2$同阶（比如$f(n)\sim c n^2$，其中$c$是一个非零常数），这时候上面的极限就是$c$而非0，自然不满足小o的定义。

我们可以直接计算你给出的求和式$f(n)$的实际阶，来验证这一点：

原求和式为：
$$
f(n) = \sum_{k=1}^n \frac{(k - 1)n^2}{n(n - k + 1)^2} = n \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{(n - k + 1)^2}
$$

做换元$m = n - k + 1$（当$k=1$时$m=n$，$k=n$时$m=1$），则$k-1 = n - m$，求和范围变为$m=1$到$m=n$，代入后：
$$
f(n) = n \sum_{m=1}^n \frac{n - m}{m^2} = n\left(n \sum_{m=1}^n \frac{1}{m^2} - \sum_{m=1}^n \frac{1}{m}\right)
$$

我们知道：

• $\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^{2}$是收敛级数，极限为$\frac{\pi}2}{6}$，所以$\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6} + O\left(\frac{1}{n}\right)$
• $\sum_{m=1}^n \frac{1}{m}$是调和级数，阶为$\log n + O(1)$

代入化简后：
$$
f(n) = n\left(n \cdot \left(\frac{\pi^2}{6} + O\left(\frac{1}{n}\right)\right) - (\log n + O(1))\right) = \frac{\pi^2}{6}n2 - n\log n + O(n)
$$

这说明$f(n)$实际上和$\frac{\pi^2}{6}n2$是同阶的（即$f(n)=\Theta(n^{2)$），$\frac{f(n)}{n}2}$的极限是$\frac{\pi^2}{6}$，而非0。所以原证明里的结论要么是笔误，要么是对$f(n)$的阶有错误的判断，或者你可能看错了原证明中的条件/结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Partial T