关于Brezis《泛函分析》定理7.5：算子A₁在希尔伯特空间H₁中为何是极大单调算子的技术问询

嘿，我来帮你把这个问题拆解得明明白白——要搞懂$A_1$在$H_1=D(A)$（装备$\langle\cdot,\cdot\rangle_{D(A)}$内积）里为啥是极大单调算子，核心就是紧扣希尔伯特空间中极大单调算子的经典等价条件：算子$T$是极大单调的当且仅当$I+T$是满射（这在Brezis的书里是反复用到的核心结论，你应该也有印象）。具体到这里，就是要证明：对任意$g \in H_1=D(A)$，存在唯一的$u \in D(A_1)=D(A^2)$，使得$u + A_1 u = g$（这里的$I$是$H_1$上的恒等算子）。

接下来一步步推导：

第一步：回忆原算子$A$的核心性质 #

因为$A$是原希尔伯特空间$H$上的极大单调算子，所以有一个关键结论：$I_H + A$是$H$到$H$的双射——也就是说，对任意$f \in H$，存在唯一的$v \in D(A)$，满足$v + Av = f$。这个性质是我们推导的基础。

第二步：针对$H_1$中的任意$g$构造解 #

给定任意$g \in H_1=D(A)$，我们先把$g$看作$H$中的元素（毕竟$D(A) \subset H$）。根据上面的性质，存在唯一的$u \in D(A)$，使得：
$$u + Au = g \tag{1}$$
现在我们只需要证明这个$u$属于$D(A_1)=D(A^2)$——也就是要证明$Au \in D(A)$。

看等式(1)，移项可得$Au = g - u$。因为$g \in D(A)$，$u \in D(A)$，而$D(A)$是线性子空间，所以$g - u \in D(A)$，这就直接推出$Au \in D(A)$，也就是$u \in D(A^2)=D(A_1)$！

第三步：验证解满足$H_1$中的算子等式 #

在$H_1$中，恒等算子$I_{H_1}$就是把$u$映射到自身，$A_1 u = Au$，所以等式(1)正好就是：
$$I_{H_1}u + A_1 u = g$$
而$g$是$H_1$中的元素，这就说明$I_{H_1}+A_1$把$D(A_1)$映射到了整个$H_1$，也就是满射。

第四步：补充验证$A_1$的单调性 #

当然，要成为极大单调算子，首先得是单调算子。对任意$u,v \in D(A_1)=D(A^2)$，计算$H_1$内积下的单调性：
$$
\begin{align*}
\langle A_1 u - A_1 v, u - v \rangle_{H_1} &= \langle Au - Av, u - v \rangle_{D(A)} \
&= \langle Au - Av, u - v \rangle_H + \langle A(Au - Av), A(u - v) \rangle_H
\end{align*}
$$
因为$A$是$H$上的单调算子，所以第一项$\langle Au - Av, u - v \rangle_H \geq 0$；令$w = A(u-v)$，第二项就是$\langle Aw, w \rangle_H$，同样因为$A$单调，这一项也$\geq0$。所以整体$\geq0$，$A_1$是单调的。

结论 #

既然$A_1$是单调的，且$I_{H_1}+A_1$是满射，根据希尔伯特空间中极大单调算子的等价判定，$A_1$就是$H_1$上的极大单调算子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira