关于实连续函数及点$a$处连续的实函数局部被过$f(a)$的直线界囿的问题问询

嘿，这个问题问得挺巧妙的，但答案是否定的——存在在点$a$连续的实函数，无法在$a$的任何邻域内被过$(a,f(a))$的直线从上方或下方局部界住。

咱们可以构造一个经典的反例来说明这一点：

• 取$a=0$，定义函数$f(x)$：
  $$
  f(x)=
  \begin{cases}
  x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & x\neq0 \
  0, & x=0
  \end{cases}
  $$

首先验证它在$a=0$处的连续性：
因为$\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq1$对所有$x\neq0$成立，所以$\left|f(x)-f(0)\right|=\left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq|x|$。当$x\to0$时，$|x|\to0$，根据极限定义，$f(x)\to f(0)$，所以$f(x)$在$0$点连续。

接下来证明它不满足题目中的条件：
假设存在实数$d$和邻域$U(0)=(-\delta,\delta)$（$\delta>0$），使得对所有$x\in U(0)\setminus{0}$，要么$f(x)\leq f(0)+d(x-0)=dx$，要么$f(x)\geq dx$。

先看第一种情况：$f(x)\leq dx$对所有$x\in(-\delta,\delta)\setminus{0}$成立。

• 取$x=\frac{1}{2\pi n + \pi/2}$（$n$为足够大的正整数，确保$|x|<\delta$），此时$\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\sin(2\pi n + \pi/2)=1$，所以$f(x)=x\cdot1=x$，代入不等式得$x\leq dx$。因为$x>0$，两边除以$x$得$1\leq d$。
• 再取$x=-\frac{1}{2\pi n + \pi/2}$（同样$n$足够大），此时$\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\sin(-2\pi n - \pi/2)=-1$，$f(x)=x\cdot(-1)=-x$（$x$为负，$-x$为正），代入不等式得$-x\leq dx$。两边除以$x$（$x<0$，不等号变向）得$-1\geq d$。
  这就出现了$1\leq d$且$-1\geq d$的矛盾，说明这种情况不可能成立。

再看第二种情况：$f(x)\geq dx$对所有$x\in(-\delta,\delta)\setminus{0}$成立。

• 取$x=\frac{1}{2\pi n + 3\pi/2}$（$n$足够大），此时$\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\sin(2\pi n + 3\pi/2)=-1$，$f(x)=x\cdot(-1)=-x$，代入不等式得$-x\geq dx$。因为$x>0$，两边除以$x$得$-1\geq d$。
• 再取$x=-\frac{1}{2\pi n + 3\pi/2}$（$n$足够大），此时$\sin\left(\frac{1}{x}\right)=\sin(-2\pi n - 3\pi/2)=1$，$f(x)=x\cdot1=x$（$x$为负），代入不等式得$x\geq dx$。两边除以$x$（$x<0$，不等号变向）得$1\leq d$。
  同样出现了$-1\geq d$且$1\leq d$的矛盾，这种情况也不可能成立。

综上，这个连续函数就不存在题目中要求的$d$和邻域$U(a)$，说明原命题不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者epyre