关于一般形式无穷乘积展开方法的技术问询

我最近在钻研正弦函数的无穷乘积展开式：
$$\sin(x)=x\prod_{k=1}^\infty (1-\frac{x^2}{k2\pi^2})$$

尝试展开这个乘积时，我发现它能关联到自然数平方倒数和以及其他级数，比如：
$$\sin(x)=x(1-\frac{x^2}{\pi2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}+junk)$$

我梳理了一个展开的思路，先从有限项的乘积入手，把每个因子的项列出来：

展开的逻辑是这样的：

• 先把第一行所有列的项相乘，得到第一个项；
• 第二个项则是取第二行中任意一列的项，再和其他行第一列的1相乘，最后求和，也就是 $-x^2\sum_{n=1}N \frac{1}{n^2\pi2}$；
• 第三个项是取第二行中任意两列的项相乘，再和其他行的1相乘，求和后得到 $x^4\sum_{n=1, k=n+1}^\infty \frac{1}{n^2k2\pi^4}$；
• 以此类推。

当让$N\rightarrow\infty$时，最终的乘积展开式就变成：
$$x\prod_{k=1}^\infty (1-\frac{x^2}{k2\pi^2})=x-x3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2\pi2}+x^{5\sum_{n=1,k=n+1}}\infty \frac{1}{n^2k2\pi^4}-...$$

现在我想把这个思路推广到更一般的无穷乘积形式 $\prod_{n=1}^\infty (1-\frac{x}{a_n})$，但卡在了如何处理这类多重求和式：$\sum_{n_1 = 1, n_k = n_{k-1}+1, k = 2,3,...,m}^{\infty\prod_{k=1}}m\frac{1}{n_k}$。如果有人能帮我理清这个问题，我会非常感激！

我尝试的一种思路： #

假设我们定义函数：
$$f(x)=\prod_{n=1}^\infty (1-\frac{x}{a_n})$$
它在0点的级数展开式可以写成：
$$f(x)=1-x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}+x^2\sum_{n=1}\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{a_n a_k} -x^3\sum_{n=1}\infty \sum_{k=n+1}^\infty \sum_{m=k+1}^\infty \frac{1}{a_n a_k a_m} +...$$

我还想到用递推的方式来定义系数：
$$b_k(n)=\sum_{m=1}^n \frac{b_{k-1}(m)}{a_m}, b_1(n)=\sum_{m=1}^n \frac{1}{a_m}$$

比如当$a_n=\frac{1}{n^2\pi2}$时，$f(x^{2)=\frac{\sin(x)}{x}$，对应的递推式就是$b_k(n)=\sum_{m=1}}n \frac{b_{k-1}(m)}{\pi^2 m^2}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tzk