已知u(x)关于x是凹函数，如何将xlog(u(x))转化为凹函数？

已知u(x)是凹函数，要让xlog(u(x))成为凹函数，核心是通过二阶导数分析推导约束条件，或结合变量替换与u(x)的额外性质，以下是具体可行思路：

1. 先明确前提与二阶导数条件 #

首先，log(u(x))有定义的前提是u(x)严格正，否则函数无意义。接下来直接计算f(x)=xlog(u(x))的二阶导数，推导其为凹函数的必要条件：

• 一阶导数：f’(x) = log(u(x)) + x·u’(x)/u(x)

• 二阶导数：

  f''(x) = [2u(x)u’(x) + x·u(x)u''(x) - x·(u’(x))²] / (u(x))²
  

  要f(x)是凹函数，需f''(x) ≤ 0，由于分母(u(x))²>0，等价于分子≤0：
  2u(x)u’(x) + x·u(x)u''(x) - x·(u’(x))² ≤ 0

  若令v(x)=log(u(x))（因u是凹函数且log是递增凹函数，v(x)也是凹函数），代入后条件可简化为：
  2v’(x) + x·v''(x) - x·(v’(x))² ≤ 0

  这个不等式是判断f(x)是否为凹函数的核心依据，要么通过限制x的定义域满足它，要么对u(x)施加额外约束满足它。

2. 对u(x)加约束或限制定义域 #

示例1：u(x)为强凹函数且单调递增 #

比如取u(x)=√(c - x)（x < c），这是一个严格正的凹函数（u''(x)=-1/(4)(c-x)^{-3/2}<0）。代入f(x)=x·log(√(c-x))=(x/2)log(c-x)，计算二阶导数可得：
f''(x)=(3x-2c)/[2(c-x)²]
当x ≤ 2c/3时，f''(x) ≤0，此时f(x)在区间(-∞, 2c/3)∩x<c内是凹函数。

示例2：u(x)满足特定曲率约束 #

若u(x)=e^{s(x)}，其中s(x)是凹函数且满足2s’(x)+x·s''(x)-x·(s’(x))² ≤0，则f(x)=x·s(x)是凹函数。比如取s(x)=-ax² -bx +c（a>0），当x≥-b/(3a)且u(x)的凹性区间（即u''(x)≤0的区间）与该范围重叠时，f(x)就是凹函数。

3. 变量替换结合复合函数凹凸性 #

单纯替换x=log(y)这类操作无法直接保证凹性，需结合复合函数的凹凸性规则：

• 若h(t)是凹函数，t=g(x)是线性函数，则h(g(x))是凹函数；
• 若h(t)是凹函数且递减，t=g(x)是凸函数，则h(g(x))是凹函数。

比如，若令t = x·u(x)，但需同时保证u(x)的性质使得复合后的函数满足二阶导数≤0。本质上还是要回到之前的二阶导数条件验证，替换只是简化分析的手段，而非直接解法。

总结 #

没有通用的万能转化方法，核心逻辑是：

• 先保证u(x)严格正；
• 通过二阶导数推导f(x)为凹函数的约束条件；
• 要么在满足条件的x定义域内直接使用原函数，要么筛选符合约束的u(x)类型。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Momo