特定数字变换规则下的集合转换可行性及步数分析咨询

问题背景 #

纸上初始存在三个数字：1、√2 和 1+√2。每次操作可选择其中两个数字（记为 a 和 b），并将这两个数字替换为 $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$ 和 $\frac{a-b}{\sqrt{2}}$。

想请教的问题是：是否存在一系列操作步骤，能将初始数字集合转换为 2、√2 和 $\frac{1}{\sqrt{2}}$？

提示给出的方向是：考虑平方和。

我的尝试过程 #

我按照提示尝试计算了初始数字和目标数字的两两平方和，但始终没理清其中的关联，具体计算内容如下：

初始数字的两两平方和 #

• 组合 a=1，b=√2：
  $$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 3$$
• 组合 a=√2，b=1+√2：
  $$(\sqrt{2})^2 + (1+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2} + 1+\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}(1+\sqrt{2})=(1+2\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}(1+\sqrt{2})=5+\sqrt{2}$$
• 组合 a=1，b=1+√2：
  $$1^{2+(1+\sqrt{2})}2=(2+\sqrt{2})^2+2(1+\sqrt{2})=4+2\sqrt{2}$$

目标数字的两两平方和 #

• 组合 a=2，b=√2：
  $$2^2+(\sqrt{2})2=6$$
• 组合 a=2，b=1/√2：
  $$2^{2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}2=4+\frac{1}{2}$$
• 组合 a=√2，b=1/√2：
  $$(\sqrt{2})^{2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}2=2+\frac{1}{2}$$

我的困惑 #

我实在看不出平方和与所需操作步数之间的联系，完全摸不着解决问题的方向。有没有大佬能给点思路或者提示？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Superunknown