关于$L^\infty$函数在$x$趋于无穷时聚点集/极限点集非空性的疑问

嗨，我来帮你把这个问题讲明白～

首先先澄清一下：你编辑里提到的“极限点集”和课堂上说的“聚点集”其实是同一个概念，都是指存在某个序列$x_k \to +\infty$（或$-\infty$），使得$u(x_k)$收敛到的那个点。

为什么$u \in L^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n)$能保证这个集合非空？核心依赖的是有限维欧氏空间里的Bolzano-Weierstrass定理，步骤拆解一下：

• 因为$u$属于$L^\infty$，根据定义，存在一个常数$M > 0$，使得对所有$x \in \mathbb{R}$，$|u(x)| \leq M$（这里的$|\cdot|$是$\mathbb{R}^{n$里的任意范数，比如欧几里得范数就行）。也就是说，所有的函数值$u(x)$都落在$\mathbb{R}}n$中的闭球$B(0, M)$里。
• 在有限维空间$\mathbb{R}^n$中，有界闭集是紧集，而紧集的一个关键性质是：任何紧集中的序列都有收敛的子序列（这就是Bolzano-Weierstrass定理的核心内容）。
• 现在考虑$x \to +\infty$的情况，我们随便取一个趋于$+\infty$的序列${x_k}$，对应的${u(x_k)}$就是紧集$B(0, M)$里的序列。根据上面的性质，这个序列一定存在一个收敛的子序列${u(x_{k_j})}$，它的极限$p \in \mathbb{R}^n$就是$u(x)$当$x \to +\infty$时的一个聚点（极限点）。
• 既然我们找到了至少一个这样的点$p$，那这个聚点集自然是非空的。

对你编辑后的疑问：没错，不管叫“聚点集”还是“极限点集”，只要$u$是$L^\infty$的，这个集合就一定非空——毕竟有界性给了我们紧集的条件，而紧集里的序列必然能抽出收敛子列，也就必然存在对应的极限点。

最后提个小补充：如果是无限维的Banach空间，这个结论可能不成立，但这里是有限维的$\mathbb{R}^n$，所以Bolzano-Weierstrass定理稳稳适用～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user603537