求解极限$\lim_{x\to \infty}e^{x^2}\int_{x}^{\infty}t^2e^{-t^2} \sin\left(\frac{1}{t}\right) dt$的方法咨询

我需要求解这个极限：
$$\lim_{x\to \infty}e^{x2}\int_{x}^{\infty}t2e^{-t2} \sin\left(\frac{1}{t}\right) dt$$

我的尝试过程：
$$\lim_{x\to \infty}e^{x2}\int_{x}^{\infty}t2e^{-t2} \sin\left(\frac{1}{t}\right) dt =\lim_{x\to \infty} \frac{\int_{x}^{\infty}t2e^{-t2} \sin\left(\frac{1}{t}\right) dt}{e^{-x2}}$$

我知道当$x\to\infty$时，$e^{-x2}\to0$，所以我想到可能可以用洛必达法则，但我不知道怎么处理分子部分，希望能得到帮助，谢谢！

嘿，你的思路完全找对方向了！洛必达法则确实是解决这个问题的好办法，咱们一步步来拆解清楚：

首先确认洛必达的适用条件：当$x\to\infty$时，分子$\int_{x}^{\infty}t2e^{-t2}\sin(1/t)dt$是上限趋向无穷的积分，因为被积函数$t^2e{-t^{2}\sin(1/t)$在$t\to\infty$时衰减极快（指数衰减主导），所以积分结果趋向0；分母$e}{-x^2}$显然也趋向0，属于0/0型，完全符合洛必达法则的使用前提。

接下来对分子分母分别求导：

• 分母的导数很简单：$\frac{d}{dx}e^{-x2} = -2x e^{-x2}$
• 分子是变上限积分（上限固定为无穷，下限是x），根据变限积分求导法则：$\frac{d}{dx}\int_{x}^{\infty}f(t)dt = -f(x)$，所以分子的导数就是$-x^2 e^{-x2} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$

把导数代入洛必达后的式子，我们可以先化简：
$$\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2 e^{-x2} \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{-2x e^{-x2}}$$
负号直接抵消，$e^{-x2}$也可以约掉，剩下：
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{2x} = \lim_{x\to\infty}\frac{x \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{2}$$

最后处理这个极限，我们可以做变量替换：令$u = \frac{1}{x}$，当$x\to\infty$时，$u\to0^+$，式子转化为：
$$\lim_{u\to0^+}\frac{\sin u}{2u}$$
我们都知道经典极限$\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$，所以这个极限的结果就是$\frac{1}{2}$。

如果你想换一种方法验证，用泰勒展开也可以：当$t$很大时，$\sin(1/t)$可以展开成$\frac{1}{t} - \frac{1}{6t^3} + o\left(\frac{1}{t^3}\right)$，代入积分后拆分计算：
$$\int_{x}^{\infty}t2e^{-t2}\left(\frac{1}{t} - \frac{1}{6t^3} + o\left(\frac{1}{t^3}\right)\right)dt = \int_{x}^{\infty}t e^{-t2}dt - \frac{1}{6}\int_{x}^{{\infty}\frac{e}{-t^2}}{t}dt + o\left(\int_{x}^{{\infty}\frac{e}{-t^2}}{t}dt\right)$$
第一个积分$\int_{x}^{\infty}t e^{-t2}dt = \frac{1}{2}e^{-x2}$，而第二个积分$\int_{x}^{{\infty}\frac{e}{-t^{2}}{t}dt$是$o(e}{-x^{2})$（指数衰减远快于$1/t$的增长），乘以$e}{x^2}$后趋向0，所以整体极限还是$\frac{1}{2}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lior