关于ℝ³中四向量张成空间的判定及解答合理性咨询

你的结论完全正确，不过确实有更简洁优雅的解释方式，咱们一步步说：

首先，先确认：这组向量的张成空间确实是$\mathbb{R}^3$。

关于你的解答的合理性 #

你给出的表达式$(a+d, b+d, c+d)^T$是对的，但其实可以再挖深一点：对于任意的$(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3$，你甚至可以直接取$d=0$，$a=x$，$b=y$，$c=z$，就能用前三个向量表示出$(x,y,z)$——第四个向量其实是“冗余”的，它本身也能被前三个向量线性表示（$(1,1,1)}T = 1*(1,0,0)^T + 1*(0,1,0)^T +1*(0,0,1)^T$），所以不会改变张成的空间。

更优雅的解答思路 #

这里有两种更直接的思路，不用展开到坐标表达式：

• 利用标准基的性质：${(1,0,0)^T, (0,1,0)^T, (0,0,1)^{T}$是$\mathbb{R}}3$的一组标准基，根据基的定义，这三个向量的张成空间就是整个$\mathbb{R}^3$。而你给出的向量组只是在这组基的基础上多添加了一个向量，向量组的张成空间是包含原向量组张成的最小子空间，既然原基已经张成了全空间，添加任何向量都不会改变结果。
• 利用维数的性质：$\mathbb{R}^{3$的维数是3，这意味着任何包含3个线性无关向量的向量组，其张成空间必然是$\mathbb{R}}3$。你的向量组里前三个向量是线性无关的（它们的行列式不为0，或者直观来看，没有一个能被另外两个线性表示），所以不管后面加多少向量，张成的空间都是全空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vika