样本量n=20的单侧二项分布假设检验推导正确性咨询

嗨，先祝你明天的随机考试顺利！我来帮你梳理下你的推导问题，以及正确的思路：

首先，你这里犯了一个关键的错误：选错了检验的类型。我们的备择假设是$H_1: p=0.1$，也就是心形气球的真实比例比原假设的0.2要小——这是一个单侧（左侧）检验场景，而你用了双侧检验的拒绝域$\phi(x)=1_{(|x-n/5|\geq k_{\alpha})}$，这是不合适的。

为什么呢？因为如果制造商真的少发了心形气球，那么样本中心形气球的数量$X$（服从二项分布$Binomial(n,p)$）只会比原假设下的期望$n p_0=20*0.2=4$更小，不会更大。所以我们只需要考虑“$X$小到什么程度就拒绝$H_0$”，而不需要考虑$X$过大的情况。

接下来给你梳理正确的步骤：

• 我们需要找到一个临界值$c$，使得拒绝域为$\phi(x)=1_{(X \leq c)}$，并且满足原假设下的第一类错误概率不超过$\alpha=0.1$，也就是$P_{p=0.2}(X \leq c) \leq 0.1$。
• 计算原假设下的累积概率：
  • $P(X=0 | p=0.2) = 0.8^{20} \approx 0.0115$
  • $P(X \leq 1 | p=0.2) = P(X=0) + \binom{20}{1}0.20.8^{19} \approx 0.0115 + 0.0576 = 0.0691$
  • $P(X \leq 2 | p=0.2) = 0.0691 + \binom{20}{2}*0.2^2*0.8{18} \approx 0.0691 + 0.1369 = 0.2060$
• 可以看到，$P(X \leq 1) \approx 0.0691 \leq 0.1$，而$P(X \leq 2) \approx 0.2060 > 0.1$，所以临界值$c=1$，对应的拒绝域是当样本中心形气球数量$\leq1$时，拒绝$H_0$。

再回到你的推导：你不仅用了不必要的双侧检验，还在计算时只考虑了右侧的概率（$P(x \geq k_{\alpha}+n/5)$），这和我们的备择假设方向完全不符，所以这部分是错误的。

总的来说，核心问题是没匹配好备择假设的方向和检验类型，修正之后就可以得到正确的检验方案啦，祝你考试顺利！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marco Di Giacomo